Un triángulo tiene lados 65, 65 y 10.75 y ningún ángulo conocido. Halla los tres ángulos.

Step-by-step solution

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   Elige la herramienta adecuada para el caso LLL. Con tres lados y ningún ángulo, el teorema del seno es inservible: siempre necesita una pareja lado-ángulo ya emparejada. El teorema del coseno es el único punto de partida:

   $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\;\Longrightarrow\;\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

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   Aprovecha la simetría del isósceles. Dos lados son iguales ($65=65$), así que los dos ángulos opuestos a ellos también lo son. Eso significa que un solo cálculo con el teorema del coseno, el del ángulo $C$ opuesto al lado distinto $10.75$, lo determina todo.

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   Sustituye los números.

   $\cos C=\frac{65^2+65^2-10.75^2}{2(65)(65)}=\frac{4225+4225-115.5625}{8450}=\frac{8334.4375}{8450}=0.98632396$

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   Toma el arcocoseno.

   $C=\cos^{-1}(0.98632396)=9.4867^{\circ}$

   Que el coseno esté tan cerca de $1$ es la huella aritmética de un triángulo larguísimo y finísimo, que es exactamente lo que describen los lados $65,65,10.75$.

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   Obtén los dos ángulos de la base con la suma de ángulos.

   $A=B=\frac{180^{\circ}-9.4867^{\circ}}{2}=85.2567^{\circ}$

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   Comprueba de forma independiente con el área. La fórmula de Herón con $s=70.375$ da área $=348.178$. La misma área sale de $\tfrac12 ab\sin C=\tfrac12(65)(65)\sin(9.4867^{\circ})=348.178$ ✓, y $9.4867+85.2567+85.2567=180.0001^{\circ}$ salvo redondeo.