Clasifica la función y = sen x / x y la función y = cos x / x como par, impar o ninguna de las dos.

Step-by-step solution

1. 1

   Enuncia el criterio. Una función es par si $f(-x)=f(x)$ e impar si $f(-x)=-f(x)$, para todo $x$ del dominio. Las dos funciones de aquí tienen dominio $x\neq 0$, que es simétrico respecto del origen, así que el criterio tiene sentido.

2. 2

   Recuerda la paridad de las piezas básicas.

   $\sin(-x)=-\sin x\ (\text{impar}),\qquad \cos(-x)=\cos x\ (\text{par}),\qquad (-x)=-x\ (\text{impar}).$

3. 3

   Aplica el criterio a la primera función.

   $f(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=\frac{\sin x}{x}=f(x),$

   así que $\dfrac{\sin x}{x}$ es par. Los dos signos menos se cancelan: impar dividido entre impar da par.

4. 4

   Aplica el criterio a la segunda función.

   $g(-x)=\frac{\cos(-x)}{-x}=\frac{\cos x}{-x}=-\frac{\cos x}{x}=-g(x),$

   así que $\dfrac{\cos x}{x}$ es impar. Aquí solo cambia de signo el denominador: par dividido entre impar da impar.

5. 5

   Confirma con números. En $x=\pm 2$: $\dfrac{\sin 2}{2}=0.454649$ y $\dfrac{\sin(-2)}{-2}=0.454649$, iguales como exige una función par. En cambio $\dfrac{\cos 2}{2}=-0.208073$ mientras que $\dfrac{\cos(-2)}{-2}=+0.208073$, opuestos como exige una función impar.

6. 6

   Anota las reglas generales de paridad. Para cocientes: par/par = par, impar/impar = par, par/impar = impar, impar/par = impar. Se comportan igual que la multiplicación de signos, lo que permite reconstruirlas en lugar de memorizarlas.