Resuelve la inecuación 2cos(x) + √3 ≥ 0 para x en el intervalo [−π, π].

Step-by-step solution

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   Aísla el coseno. Restar $\sqrt3$ y dividir entre el número positivo $2$ deja sin cambios el sentido de la desigualdad:

   $\cos x\ge-\frac{\sqrt3}{2}.$

   Como $-\tfrac{\sqrt3}{2}\approx-0.866$ está dentro de $[-1,1]$, el conjunto solución es un subintervalo genuino: ni vacío ni todo el intervalo.

2. 2

   Halla los ángulos frontera. La ecuación $\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$ tiene ángulo de referencia $\tfrac{\pi}{6}$, y el coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante, así que en $[-\pi,\pi]$ las soluciones son

   $x=\frac{5\pi}{6}\quad\text{y}\quad x=-\frac{5\pi}{6}.$

   El coseno es una función par, así que sus ángulos frontera en un intervalo simétrico vienen siempre en parejas $\pm$.

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   Decide de qué lado de las fronteras hay que quedarse. En $[-\pi,\pi]$ el coseno es máximo en el centro, $\cos0=1$, y mínimo en los dos extremos, $\cos(\pm\pi)=-1$. Así que $\cos x\ge-\tfrac{\sqrt3}{2}$ se cumple en la banda central entre los dos ángulos frontera, y no fuera de ella:

   $-\frac{5\pi}{6}\le x\le\frac{5\pi}{6}.$

4. 4

   Incluye los extremos. La desigualdad no es estricta y, en $x=\pm\tfrac{5\pi}{6}$, la expresión vale $2\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)+\sqrt3=0$, que cumple $\ge0$. Los dos ángulos frontera pertenecen, por tanto, al conjunto solución, y el intervalo es cerrado.

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   Prueba a un lado y al otro de una frontera. En $x=2.6180\approx\tfrac{5\pi}{6}$: $2\cos x+\sqrt3=0$ ✓ (incluido). En $x=2.7$, justo afuera: $2\cos(2.7)+\sqrt3=2(-0.9040721)+1.7320508=-0.0760935<0$ ✓ (excluido), y por simetría ocurre lo mismo en $x=-2.7$. En el centro $x=0$: $2+\sqrt3=3.73>0$ ✓.