Un sector de un círculo de radio 5 millas tiene un área de 3 millas cuadradas. Halla el ángulo central, redondeado a tres decimales.

Step-by-step solution

1. 1

   Despeja el ángulo en la fórmula del área. De $A=\tfrac12 r^{2}\theta$,

   $\theta=\frac{2A}{r^{2}}$

   El radio entra al cuadrado, así que usar $r$ en lugar de $r^{2}$ supone en este problema un error de un factor cinco.

2. 2

   Sustituye.

   $\theta=\frac{2(3)}{5^{2}}=\frac{6}{25}$

3. 3

   Convierte a decimal.

   $\theta=0.24=0.240\ \text{radianes}$

   $\boxed{\theta=\dfrac{6}{25}=0.240\ \text{rad}}$

4. 4

   Observa que la respuesta es adimensional. Un ángulo en radianes es un cociente de dos longitudes, así que las millas se cancelan: $\text{mi}^2/\text{mi}^2$. Por eso a $0.240$ no se le adjunta más unidad que la palabra «radianes».

5. 5

   Comprueba reconstruyendo el área y convierte a grados. $A=\tfrac12(25)(0.24)=12.5\times 0.24=3$ millas cuadradas ✓. En grados, $0.24\times\tfrac{180}{\pi}=13.75^{\circ}$ — una cuña estrecha, coherente con un sector que cubre solo $3$ de las $\pi(25)=78.5$ millas cuadradas del círculo completo.