Dado sen(θ) = 0.80, halla el ángulo θ en grados y en radianes.

Step-by-step solution

1. 1

   Aplicar el seno inverso a ambos miembros. La operación que deshace el seno es $\sin^{-1}$ (arcoseno):

   $\theta=\sin^{-1}(0.80)$

   Su rango principal es $-90^\circ\le\theta\le90^\circ$, así que aquí devuelve el único ángulo agudo.

2. 2

   Comprobar que el dato es admisible. El seno nunca supera $1$ en valor absoluto, y $0.80$ está dentro de $[-1,1]$, así que existe un ángulo real. (Un dato como $1.2$ no tendría solución: conviene comprobarlo antes de pulsar ninguna tecla.)

3. 3

   Prever la respuesta antes de calcular. $\sin45^\circ\approx0.707$ y $\sin60^\circ\approx0.866$, y $0.80$ queda entre ambos, así que $\theta$ tiene que estar entre $45^\circ$ y $60^\circ$. Esta estimación es la que delata una calculadora olvidada en modo radianes.

4. 4

   Evaluar en grados.

   $\theta=\sin^{-1}(0.80)=53.1301^\circ\approx53.13^\circ$

   Justo dentro de la ventana prevista de $45^\circ$–$60^\circ$ ✓.

5. 5

   Convertir a radianes. Se multiplica por $\dfrac{\pi}{180}$:

   $53.1301\times\frac{\pi}{180}=0.9273\ \text{rad}$

   Como comprobación, $0.9273$ es un poco mayor que $\tfrac{\pi}{4}=0.7854$ y menor que $\tfrac{\pi}{3}=1.0472$, lo que concuerda con la respuesta en grados.

6. 6

   Reconocer el triángulo especial que hay detrás. $0.80=\tfrac{4}{5}$, así que se trata del conocido triángulo rectángulo $3$-$4$-$5$: el ángulo opuesto al cateto de longitud $4$. Su coseno es $\tfrac35=0.6$ y su tangente $\tfrac43$, y en efecto $\tan(53.13^\circ)=1.3333$ ✓. Al verificar hacia atrás, $\sin(0.9273)=0.80000$ ✓.