¿Cuál es el periodo de la función y = 3 csc x?

Step-by-step solution

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   Recuerda qué mide el periodo. El periodo es el menor $p$ positivo tal que $f(x+p) = f(x)$ para todo $x$ del dominio — la longitud horizontal de un ciclo completo antes de que la gráfica se repita.

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   Usa la definición como recíproca. $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$. Si $\sin(x + p) = \sin x$ para todo $x$, al tomar recíprocos se obtiene $\csc(x+p) = \csc x$ dondequiera que ambos estén definidos. Así que la cosecante se repite exactamente cuando se repite el seno, y su periodo es el mismo que el del seno: $2\pi$.

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   Confirma que ningún valor menor funciona. ¿Podría el periodo ser $\pi$? Prueba con $x = \tfrac{\pi}{2}$: $\csc\tfrac{\pi}{2} = 1$, mientras que $\csc\bigl(\tfrac{\pi}{2}+\pi\bigr) = \csc\tfrac{3\pi}{2} = -1$. Como $1 \neq -1$, $\pi$ no es un periodo. La misma prueba descarta $\tfrac{\pi}{2}$, así que $2\pi$ es realmente el menor.

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   Entiende por qué el coeficiente 3 es irrelevante. Multiplicar por $3$ estira la gráfica verticalmente, de modo que $3\csc(x+2\pi) = 3\csc x$ se cumple exactamente para los mismos desplazamientos. Solo un coeficiente sobre $x$ — como en $\csc(bx)$, de periodo $2\pi/|b|$ — cambia el periodo. Aquí $b = 1$, así que

   $\text{periodo} = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$

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   Enuncia la respuesta. El periodo de $y = 3\csc x$ es $2\pi$. Como comprobación final, $\csc$ tiene asíntotas verticales dondequiera que $\sin x = 0$, es decir, en $x = 0, \pi, 2\pi, \ldots$ — separadas $\pi$ entre sí —, pero el patrón de ramas hacia arriba y hacia abajo solo se repite cada $2\pi$.