Un avión asciende a 500 km/h por una trayectoria recta que forma un ángulo de 30 grados con la horizontal. Después de 1.2 minutos, ¿está más alto o más bajo que un segundo avión que vuela a una altitud de 7 km?

Step-by-step solution

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   Separar la velocidad en componentes. Los $500$ km/h se miden a lo largo de la trayectoria de vuelo, no en vertical, así que no se pueden multiplicar directamente por el tiempo. Al dibujar el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la trayectoria de vuelo, el cateto vertical es el opuesto al ángulo de $30^{\circ}$, de modo que la velocidad vertical (de ascenso) es

   $v_{y}=v\sin\theta=500\sin 30^{\circ}.$

   Se usa el seno, no el coseno: el seno relaciona el ángulo con el cateto opuesto, que es justamente la altura.

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   Evaluar la velocidad vertical. Como $\sin 30^{\circ}=\tfrac12$,

   $v_{y}=500\cdot\frac{1}{2}=250\ \text{km/h}.$

   Solo la mitad de la velocidad del avión se dedica a ganar altitud; la otra componente, $500\cos 30^{\circ}\approx 433$ km/h, lo desplaza en horizontal.

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   Ajustar las unidades de tiempo a las de la velocidad. La velocidad es por hora, pero el tiempo viene en minutos, así que hay que convertir antes de multiplicar:

   $t=1.2\ \text{min}=\frac{1.2}{60}\ \text{h}=0.02\ \text{h}.$

   Saltarse esta conversión es el error más común en este tipo de problema.

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   Calcular la altitud ganada.

   $h=v_{y}t=250\times 0.02=5\ \text{km}.$

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   Comparar con el segundo avión. El avión que asciende está a $5$ km mientras que el otro está a $7$ km, y $5<7$, así que después de $1.2$ minutos el avión que asciende sigue estando más bajo. A este ritmo necesitaría $\dfrac{7}{250}\ \text{h}=1.68$ minutos para alcanzar los $7$ km.