Simplificar sin A / cot A - csc A sin A.

Step-by-step solution

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   Convertir toda función recíproca a senos y cosenos. Con $\cot$ y $\csc$ mezclados, el único primer paso fiable es escribir ambas en términos de $\sin$ y $\cos$: $\cot A=\frac{\cos A}{\sin A},\qquad \csc A=\frac{1}{\sin A}.$ Así todo queda en un mismo lenguaje y las cancelaciones se vuelven visibles.

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   Simplificar el primer término. Dividir entre una fracción equivale a multiplicar por su recíproco: $\frac{\sin A}{\cot A}=\frac{\sin A}{\dfrac{\cos A}{\sin A}}=\sin A\cdot\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\sin^{2}A}{\cos A}.$ De forma equivalente esto es $\sin A\tan A$, una forma útil de reconocer.

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   Simplificar el segundo término. $\csc A\,\sin A=\frac{1}{\sin A}\cdot\sin A=1,$ válido dondequiera que $\sin A\neq 0$. Una función recíproca multiplicada por su propia función siempre da $1$ - ese es todo el contenido de una identidad recíproca.

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   Combinar los dos resultados. $\frac{\sin A}{\cot A}-\csc A\,\sin A=\frac{\sin^{2}A}{\cos A}-1=\frac{\sin^{2}A-\cos A}{\cos A},$ así que en forma compacta la expresión es $\sin A\tan A-1$. Ninguna identidad pitagórica ayuda más allá, porque el numerador mezcla $\sin^{2}A$ con una primera potencia de $\cos A$.

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   Indicar el dominio y comprobar un valor. El resultado exige $\sin A\neq 0$ (para que existan $\cot$ y $\csc$) y $\cos A\neq 0$ (por el cociente), así que $A$ debe evitar todos los múltiplos de $\tfrac{\pi}{2}$. Prueba en $A=\tfrac{\pi}{3}$: la original vale $\dfrac{\sin 60^\circ}{\cot 60^\circ}-\csc 60^\circ\sin 60^\circ=\dfrac{0.8660254}{0.5773503}-1=1.5-1=0.5$, y la forma simplificada da $\dfrac{0.75}{0.5}-1=1.5-1=0.5$.