Calcular cos(225°), dando un valor exacto.

Step-by-step solution

1. 1

   Ubicar el cuadrante del ángulo. $180^\circ<225^\circ<270^\circ$, así que el lado terminal cae en el tercer cuadrante, donde ambas coordenadas de la circunferencia unitaria son negativas. El coseno lee la coordenada $x$, de modo que la respuesta tiene que ser negativa.

2. 2

   Hallar el ángulo de referencia. En el tercer cuadrante el ángulo de referencia es lo que el ángulo pasa de $180^\circ$:

   $225^\circ-180^\circ=45^\circ$

3. 3

   Aplicar la identidad del tercer cuadrante. De forma equivalente, $\cos(180^\circ+\theta)=-\cos\theta$:

   $\cos 225^\circ=\cos(180^\circ+45^\circ)=-\cos 45^\circ$

4. 4

   Sustituir el valor del ángulo notable.

   $\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\quad\Longrightarrow\quad \cos 225^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$

5. 5

   Comprobar numéricamente y contra la regla de signos. $-\tfrac{\sqrt2}{2}\approx-0.7071068$, y una evaluación directa de $\cos 225^\circ$ da $-0.7071068$ $\checkmark$. El signo negativo coincide con la predicción del tercer cuadrante, y $225^\circ$ en radianes es $\tfrac{5\pi}{4}$, el punto $\left(-\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$ de la circunferencia unitaria.