Una escalera se apoya contra una pared. Su extremo superior toca la pared a 24 ft del suelo y su base está a 7 ft de la pared. Halla la longitud de la escalera y el ángulo que forma con el suelo.

Step-by-step solution

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   Modela la situación como un triángulo rectángulo. La pared es vertical y el suelo es horizontal, así que se cortan formando $90^\circ$. La escalera es la hipotenusa, la altura alcanzada en la pared ($24$ ft) es el cateto opuesto al ángulo del suelo, y la distancia a la pared ($7$ ft) es el cateto adyacente. Hacer el dibujo una sola vez elimina toda la ambigüedad sobre qué lado es cuál.

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   Aplica el teorema de Pitágoras para la longitud. Con catetos $7$ y $24$ e hipotenusa $c$,

   $c^2=7^2+24^2=49+576=625$
   $c=\sqrt{625}=25\text{ ft}$

   La longitud sale un número entero porque $(7,24,25)$ es una terna pitagórica: una señal habitual de que el problema se preparó a propósito.

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   Elige la razón trigonométrica que sólo use los datos dados. Sea $\theta$ el ángulo en el suelo. Los dos lados dados son el opuesto ($24$) y el adyacente ($7$), y la razón que se construye exactamente con esos dos es la tangente:

   $\tan\theta=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}=\frac{24}{7}$

   Usar la tangente hace que un error en el paso 2 no se propague al ángulo.

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   Invierte la tangente para obtener el ángulo.

   $\theta=\arctan\!\left(\frac{24}{7}\right)=\arctan(3.4286)\approx 73.74^\circ$

   Asegúrate de que la calculadora esté en modo de grados; en modo de radianes las mismas teclas devuelven $1.287$.

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   Comprueba el ángulo con otra razón distinta. Usando la hipotenusa ya calculada,

   $\sin\theta=\frac{24}{25}=0.96,\qquad \cos\theta=\frac{7}{25}=0.28$

   Tanto $\arcsin(0.96)$ como $\arccos(0.28)$ devuelven $73.74^\circ$, y $0.96^2+0.28^2=0.9216+0.0784=1$ confirma que el triángulo es consistente. Un ángulo tan grande es además lo que se espera físicamente: la escalera sube $24$ ft mientras se separa sólo $7$ ft.