Halla el valor exacto de arccos(−√3 / 2).

Step-by-step solution

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   Recuerda el recorrido del arcocoseno: en eso consiste todo el problema. $\arccos x$ devuelve el ángulo único $\theta$ con

   $\cos\theta=x\qquad\text{y}\qquad 0\le\theta\le\pi$

   A diferencia de $\arcsin$, cuyo recorrido es $[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$, el $\arccos$ nunca devuelve un ángulo negativo. Así que $-\tfrac{\pi}{6}$ no es una respuesta válida aquí, aunque $\cos(-\tfrac{\pi}{6})=+\tfrac{\sqrt3}{2}$.

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   Halla el ángulo de referencia a partir de la magnitud. Ignorando el signo, $\tfrac{\sqrt3}{2}$ es un valor notable:

   $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\ \Longrightarrow\ \text{ángulo de referencia}=\frac{\pi}{6}\ (30^{\circ})$

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   Coloca el ángulo en el cuadrante correcto. El coseno es negativo en $(\tfrac{\pi}{2},\pi)$, el segundo cuadrante, que es la única parte del recorrido del arcocoseno donde puede aparecer un valor negativo. El ángulo del segundo cuadrante con referencia $\tfrac{\pi}{6}$ es

   $\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$

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   Confirma la condición del recorrido. $\tfrac{5\pi}{6}=150^{\circ}$ cumple $0\le\tfrac{5\pi}{6}\le\pi$ ✓, así que es el valor principal.

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   Verifica volviendo a tomar el coseno.

   $\cos\frac{5\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}$

   Numéricamente $\cos(2.617994)=-0.8660254$ y $-\tfrac{\sqrt3}{2}=-0.8660254$ ✓.