Resuelva 2 sen(y) = sen(x) + sen(x + y) para x e y en [0, 2π).

Step-by-step solution

1. 1

   Convierta la suma del lado derecho en un producto. La identidad $\sin A+\sin B=2\sin\tfrac{A+B}{2}\cos\tfrac{A-B}{2}$ con $A=x+y$ y $B=x$ da

   $\sin x+\sin(x+y)=2\sin\!\left(x+\frac y2\right)\cos\frac y2$

2. 2

   Reescriba el lado izquierdo con la fórmula del ángulo doble.

   $2\sin y=4\sin\frac y2\cos\frac y2$

   Ahora los dos lados llevan el factor común $\cos\tfrac y2$, que es la clave estructural del problema.

3. 3

   Factorice en lugar de dividir. Pasando todo a un lado:

   $2\cos\frac y2\left[2\sin\frac y2-\sin\!\left(x+\frac y2\right)\right]=0$

   Dividir los dos lados entre $\cos\tfrac y2$ en vez de factorizar descartaría en silencio todas las soluciones con $\cos\tfrac y2=0$: la manera más común de responder este problema de forma incompleta.

4. 4

   Rama 1: $\cos\tfrac y2=0$. En $[0,2\pi)$ esto significa $\tfrac y2=\tfrac\pi2$, así que

   $y=\pi\qquad\text{para todo }x\in[0,2\pi)$

   Compruébelo directamente: $2\sin\pi=0$ y $\sin x+\sin(x+\pi)=\sin x-\sin x=0\;\checkmark$. Es toda una recta de soluciones, no un punto aislado.

5. 5

   Rama 2: $\sin\!\left(x+\tfrac y2\right)=2\sin\tfrac y2$. Un seno está acotado por $1$, así que esta rama exige

   $\left|2\sin\frac y2\right|\le 1\iff\left|\sin\frac y2\right|\le\frac12\iff y\in\left[0,\frac\pi3\right]\cup\left[\frac{5\pi}{3},2\pi\right)$

   y, para cada $y$ admisible, los valores de $x$ que le corresponden son

   $x\equiv\arcsin\!\left(2\sin\frac y2\right)-\frac y2\quad\text{o}\quad x\equiv\pi-\arcsin\!\left(2\sin\frac y2\right)-\frac y2\pmod{2\pi}$

6. 6

   Resuma el conjunto solución completo. Las soluciones son la recta horizontal $y=\pi$ junto con las dos curvas de la Rama 2. Las comprobaciones numéricas puntuales confirman las dos familias: en $y=\pi$ con $x=0.3,\,1.234,\,2.7,\,5.5$ el residuo queda por debajo de $4\times 10^{-16}$, y la Rama 2 en $y=0$ obliga a $\sin x=0$, lo que da $x=0$ y $x=\pi$, que satisfacen exactamente la ecuación original.