Resuelve sen(2x) cos(2x) = −1/2 para todo x real.

Step-by-step solution

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   Reconoce el producto como la mitad de un seno. Un producto $\sin\theta\cos\theta$ nunca se resuelve directamente: siempre se pliega en un único seno mediante $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$. Aquí $\theta = 2x$, así que $2\sin(2x)\cos(2x) = \sin(4x)$.

2. 2

   Multiplica ambos miembros por 2 para aplicar la identidad.

   $2\sin(2x)\cos(2x) = 2\left(-\frac{1}{2}\right) \quad\Longrightarrow\quad \sin(4x) = -1$

   Ahora la ecuación tiene una sola función trigonométrica de un único argumento, que es la forma que espera toda fórmula de solución general.

3. 3

   Resuelve sen(4x) = −1. El seno alcanza su mínimo $-1$ solo en el fondo de cada ciclo, en el ángulo $\tfrac{3\pi}{2}$ más vueltas completas. Como $-1$ es un valor extremo, hay una única familia y no las dos habituales:

   $4x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}$

4. 4

   Divide entre 4 para despejar x. Se divide cada término, incluido el periodo:

   $x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{2}k, \qquad k \in \mathbb{Z}$

   El periodo se encogió de $2\pi$ a $\tfrac{\pi}{2}$, así que en cualquier intervalo de longitud $2\pi$ hay cuatro soluciones, no una.

5. 5

   Comprueba la solución base. Para $x = \tfrac{3\pi}{8}$ resulta $2x = \tfrac{3\pi}{4}$, donde $\sin\tfrac{3\pi}{4} = \tfrac{\sqrt2}{2}$ y $\cos\tfrac{3\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2}$. Su producto es $-\tfrac{2}{4} = -\tfrac12$, exactamente el miembro derecho.