Simplifica √(1 + tan²(α) · sen²(β)).

Step-by-step solution

1. 1

   Resistir el reflejo $1+\tan^2=\sec^2$. Esa identidad exige que el término de la tangente esté solo; aquí está multiplicado por $\sin^2\beta$, así que $1+\tan^{2}\alpha\sin^{2}\beta$ no es $\sec^{2}\alpha\sin^{2}\beta$ ni nada tan prolijo. La vía confiable es pasar todo a senos y cosenos y después combinar.

2. 2

   Reescribir la tangente. Con $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$,

   $1+\tan^{2}\alpha\sin^{2}\beta=1+\frac{\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\alpha}$

3. 3

   Poner todo sobre el común denominador $\cos^{2}\alpha$.

   $=\frac{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\alpha}$

   Tener una sola fracción es lo que permite que la raíz cuadrada se separe limpiamente en el paso siguiente.

4. 4

   Extraer la raíz cuadrada conservando el valor absoluto. Como $\sqrt{\cos^{2}\alpha}=\left|\cos\alpha\right|$ (y no $\cos\alpha$, que puede ser negativo):

   $\sqrt{1+\tan^{2}\alpha\sin^{2}\beta}=\frac{\sqrt{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta}}{\left|\cos\alpha\right|}$

5. 5

   Simplificar el numerador con la identidad pitagórica. Reemplazando $\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha$ y factorizando:

   $\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta=1-\sin^{2}\alpha\left(1-\sin^{2}\beta\right)=1-\sin^{2}\alpha\cos^{2}\beta$

   así que una forma equivalente y más simétrica es

   $\frac{\sqrt{1-\sin^{2}\alpha\cos^{2}\beta}}{\left|\cos\alpha\right|}$

6. 6

   Comprobar con números. En $\alpha=0.9,\ \beta=2.1$ la expresión original vale $1.477588$ y las dos formas simplificadas dan $1.477588$ ✓. La segunda forma además vuelve evidente el recorrido: el numerador está entre $\left|\cos\alpha\right|$ y $1$, así que la expresión completa nunca baja de $1$.