Determina si cada una de estas igualdades es posible para un número real m: cos(m) = 2, tan(m) = 2, cot(0) = m, csc(π) = m, sen(m) = −1.1, arcsec(m) = π/2, cot(π) = m, sen(m) = −0.9.

Step-by-step solution

1. 1

   Clasifica las ocho afirmaciones en dos tipos. En (a), (b), (e) y (h) la incógnita está dentro de la función, así que la pregunta es si el valor dado pertenece al recorrido de esa función. En (c), (d) y (g) la incógnita es la salida, así que la pregunta es si la función está siquiera definida en ese argumento. El apartado (f) trata del recorrido de una función inversa.

2. 2

   Usa el recorrido del seno y del coseno para (a), (e) y (h). Para todo real $m$,

   $-1\le\sin m\le 1,\qquad -1\le\cos m\le 1.$

   Así que $\cos(m)=2$ no es posible y $\sin(m)=-1.1$ tampoco lo es, mientras que $\sin(m)=-0.9$ sí es posible (por ejemplo, $m=\arcsin(-0.9)\approx-1.1198$).

3. 3

   Usa el recorrido de la tangente para (b). La $\tan$ toma todos los valores reales en cada rama, así que $\tan(m)=2$ sí es posible; sirve $m=\arctan 2\approx 1.1071$, igual que $m\approx 1.1071+k\pi$.

4. 4

   Mira dónde se disparan la cotangente y la cosecante, para (c), (d) y (g). Las dos llevan $\sin$ en el denominador:

   $\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},\qquad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}.$

   Como $\sin 0=0$ y $\sin\pi=0$, las tres expresiones $\cot(0)$, $\csc(\pi)$ y $\cot(\pi)$ quedan indefinidas: son $\tfrac10$, $\tfrac10$ y $\tfrac{-1}{0}$. Ningún $m$ real puede igualar una expresión indefinida, así que (c), (d) y (g) no son posibles.

5. 5

   Mira el recorrido de la arcosecante para (f). La secante inversa se define con recorrido $\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right]$: el valor $\tfrac{\pi}{2}$ está excluido a propósito, porque $\sec\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac{1}{\cos(\pi/2)}=\tfrac10$ no está definido. Así que $\sec^{-1}(m)=\tfrac{\pi}{2}$ no es posible.

6. 6

   Reúne los veredictos. Posibles: (b) y (h). No posibles: (a), (c), (d), (e), (f) y (g). El patrón que conviene recordar es que las funciones acotadas fallan por tamaño y las funciones recíprocas fallan allí donde su denominador se anula.