Un sector circular tiene ángulo central π/6 radianes y radio 4 m. Halla la longitud de arco s y el área A del sector, redondeadas a tres decimales.

Step-by-step solution

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   Escribe las dos fórmulas del sector. Para un ángulo central $\theta$ en radianes,

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   Son simplemente la fracción $\theta/(2\pi)$ de la longitud total de la circunferencia $2\pi r$ y del área total $\pi r^2$.

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   Calcula la longitud de arco.

   $s=r\theta=4\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{2\pi}{3}\approx 2.094\ \text{m}$

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   Calcula el área del sector. Eleva primero el radio al cuadrado y divide después entre dos:

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(4)^2\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12(16)\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4\pi}{3}\approx 4.189\ \text{m}^2$

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   Escribe las dos respuestas redondeadas.

   $\boxed{s\approx 2.094\ \text{m},\qquad A\approx 4.189\ \text{m}^2}$

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   Comprueba con la relación A = ½rs. Eliminando $\theta$ queda $A=\tfrac12 rs$, y $\tfrac12(4)\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{4\pi}{3}$, exactamente el área hallada arriba.

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   Compara con el caso π/3, r = 2 ft. Allí el arco también era $\tfrac{2\pi}{3}$, porque reducir $\theta$ a la mitad y duplicar $r$ deja $r\theta$ sin cambios. El área, en cambio, depende de $r^2\theta$, así que duplicar $r$ y reducir $\theta$ a la mitad la duplica: pasa de $\tfrac{2\pi}{3}$ a $\tfrac{4\pi}{3}$. Arcos iguales no significan áreas de sector iguales.