Hallar el valor exacto de sin(225°).

Step-by-step solution

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   Ubicar el cuadrante del ángulo. Como $180^\circ<225^\circ<270^\circ$, el lado terminal cae en el cuadrante III. Allí tanto el seno como el coseno son negativos (solo la tangente es positiva), así que la respuesta debe llevar signo menos.

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   Hallar el ángulo de referencia. Para un ángulo del cuadrante III, el ángulo de referencia se mide de vuelta hacia el semieje $x$ negativo:

   $225^\circ-180^\circ=45^\circ$

   Un ángulo de referencia de $45^\circ$ significa que el valor será uno de los valores exactos notables, así que no hace falta calculadora.

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   Recordar el valor notable. Del triángulo de $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ con catetos $1,1$ e hipotenusa $\sqrt2$:

   $\sin45^\circ=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$

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   Añadir el signo del cuadrante. La magnitud viene del ángulo de referencia y el signo, del cuadrante:

   $\sin225^\circ=-\sin45^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$

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   Contrastar con las coordenadas de la circunferencia unitaria. El punto correspondiente a $225^\circ$ es $\left(-\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$, y el seno es la coordenada $y$: negativa, tal como se obtuvo ✓. Numéricamente $-\tfrac{\sqrt2}{2}=-0.70711$, y evaluar $\sin(225^\circ)$ directamente da $-0.7071068$ ✓, con coincidencia hasta siete decimales.

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   Anotar los valores relacionados. Por el mismo ángulo de referencia, $\cos225^\circ=-\tfrac{\sqrt2}{2}$ y $\tan225^\circ=+1$: los dos signos negativos se cancelan en el cociente, y por eso la tangente es positiva en el cuadrante III.