Resuelve 2 sen(2θ + π/4) - 1 = 0 para θ en el intervalo desde 0 hasta 2π sin incluirlo.

Step-by-step solution

1. 1

   Despeja el seno.

   $\sin\left(2\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}.$

2. 2

   Sustituye todo el argumento y transforma el intervalo. Sea $t=2\theta+\tfrac{\pi}{4}$. Cuando $\theta$ recorre $[0,2\pi)$, $2\theta$ recorre $[0,4\pi)$ y por tanto

   $\frac{\pi}{4}\le t<4\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{17\pi}{4}.$

   Transformar el intervalo es el paso que la gente se salta: el argumento duplicado barre dos vueltas completas, así que hay que esperar aproximadamente el doble de soluciones de lo habitual.

3. 3

   Halla todos los t de ese intervalo estirado con sen t = 1/2. En un periodo las soluciones son $t=\tfrac{\pi}{6}$ y $t=\tfrac{5\pi}{6}$; sumando múltiplos de $2\pi$ y quedándonos con los que caen en $\left[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{17\pi}{4}\right)$:

   $t=\frac{5\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6},\ \frac{17\pi}{6},\ \frac{25\pi}{6}.$

   Observa que $t=\tfrac{\pi}{6}$ queda excluido porque $\tfrac{\pi}{6}<\tfrac{\pi}{4}$: el desfase sí que deja fuera una solución por el principio.

4. 4

   Deshaz la sustitución. De $t=2\theta+\tfrac{\pi}{4}$ se obtiene $\theta=\dfrac{t-\pi/4}{2}$. Tomando común denominador $12$ dentro:

   $\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12},\quad \frac{13\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{23\pi}{12},\quad \frac{17\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{31\pi}{12},\quad \frac{25\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{47\pi}{12}.$

5. 5

   Divide cada uno entre 2 para obtener theta.

   $\theta=\frac{7\pi}{24},\ \frac{23\pi}{24},\ \frac{31\pi}{24},\ \frac{47\pi}{24}.$

   Los cuatro caen en $[0,2\pi)$, ya que $\tfrac{47\pi}{24}<\tfrac{48\pi}{24}=2\pi$ ✓.

6. 6

   Comprueba una solución. En $\theta=\tfrac{7\pi}{24}$: $2\theta+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{7\pi}{12}+\tfrac{3\pi}{12}=\tfrac{10\pi}{12}=\tfrac{5\pi}{6}$, y $2\sin\tfrac{5\pi}{6}-1=2(\tfrac12)-1=0$ ✓. Las soluciones consecutivas se diferencian alternadamente en $\tfrac{16\pi}{24}$ y $\tfrac{8\pi}{24}$, que es el patrón esperable de dos soluciones por periodo repetidas dos veces.