Clasifica cada función como par, impar o ni par ni impar: f(x) = 4x³ − 3x² + 5, f(x) = −7x² + 1, y = cos(−x), y = sen x / cos x, y = csc x, e y = tan x / x.

Step-by-step solution

1. 1

   Fija el criterio. $f$ es par cuando $f(-x)=f(x)$ e impar cuando $f(-x)=-f(x)$. Para los polinomios hay un atajo: solo potencias pares significa par, solo potencias impares significa impar, y una mezcla significa ninguna de las dos. (Una constante cuenta como $x^0$, que es una potencia par.)

2. 2

   Clasifica los dos polinomios. $4x^{3}-3x^{2}+5$ contiene la potencia impar $x^3$ y las potencias pares $x^2$ y $x^0$, así que no es ninguna de las dos. En $-7x^{2}+1$ todas las potencias son pares, así que es par.

3. 3

   Simplifica cos(−x) antes de clasificar. El coseno es par, así que $\cos(-x)=\cos x$: la expresión no es más que la función coseno disfrazada, y es par. Comprobándolo directamente, sustituir $x$ por $-x$ da $\cos(x)$, que coincide con la original.

4. 4

   Clasifica sen x / cos x. Esto es $\tan x$. Con $\sin(-x)=-\sin x$ y $\cos(-x)=\cos x$:

   $\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x,$

   así que es impar.

5. 5

   Clasifica csc x. Como $\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$ y el seno es impar,

   $\csc(-x)=\frac{1}{-\sin x}=-\csc x,$

   así que es impar. El recíproco de una función impar es impar.

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   Clasifica tan x / x. La tangente es impar y $x$ es impar, e impar dividido entre impar da par:

   $\frac{\tan(-x)}{-x}=\frac{-\tan x}{-x}=\frac{\tan x}{x},$

   así que es par. Clasificación final: pares: $-7x^2+1$, $\cos(-x)$, $\tfrac{\tan x}{x}$; impares: $\tfrac{\sin x}{\cos x}$, $\csc x$; ninguna de las dos: $4x^3-3x^2+5$.