Halla el valor exacto de arcsin(0.395), o explica por qué no existe, y da el valor decimal en radianes y en grados.

Step-by-step solution

1. 1

   Enuncia qué se pide. Queremos el único $\theta \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$ con $\sin\theta = 0.395 = \tfrac{79}{200}$. Como $0 < 0.395 < 1$, el ángulo está en el primer cuadrante.

2. 2

   Descarta una forma cerrada. Un seno racional da un ángulo en forma cerrada solo para el puñado de valores $0,\ \pm\tfrac12,\ \pm 1$ entre los racionales (teorema de Niven), más los irracionales cuadráticos $\pm\tfrac{\sqrt2}{2}, \pm\tfrac{\sqrt3}{2}$. Como $\tfrac{79}{200}$ es racional pero no es $0, \pm\tfrac12$ ni $\pm1$, el ángulo no es un múltiplo racional de $\pi$ y no tiene forma exacta elemental. La respuesta exacta es $\arcsin(0.395)$ en sí.

3. 3

   Obtén el valor en radianes con la serie. Con $u = 0.395$ en $\arcsin u = u + \tfrac{u^3}{6} + \tfrac{3u^5}{40} + \tfrac{15u^7}{336} + \cdots$: $0.395 + 0.010272 + 0.000721 + 0.000067 + 0.000007 = 0.406067$, que converge a

   $\arcsin(0.395) \approx 0.4060679\ \text{rad}$

4. 4

   Convierte a grados.

   $0.4060679 \times \frac{180}{\pi} \approx 23.2660^{\circ}$

5. 5

   Comprueba la respuesta y compárala con un vecino. $\sin(23.2660^{\circ}) = 0.395000$. Comparando con $\arcsin(0.375) \approx 22.0243^{\circ}$: un aumento de $0.02$ en el seno movió el ángulo unos $1.24^{\circ}$, consistente con $\tfrac{d\theta}{d(\sin\theta)} = \tfrac{1}{\cos\theta} \approx 1.088$ radianes por unidad, es decir $\approx 62^{\circ}$ por unidad de seno.