Resuelve para a: 120² = 150² + a² − 2 · 150 · a · cos(30 grados).

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce el teorema del coseno con la incógnita en el lado equivocado. En $c^{2}=b^{2}+a^{2}-2ba\cos C$ la incógnita $a$ aparece tanto al cuadrado como en grado uno, así que esto es una cuadrática en $a$, no una evaluación de un solo paso. Cabe esperar hasta dos respuestas positivas — el caso ambiguo LLA, en el que dos triángulos distintos comparten los datos dados.

2. 2

   Sustituye los valores conocidos. Con $120^{2}=14400$, $150^{2}=22500$ y $\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}$:

   $14400=22500+a^{2}-2(150)a\cdot\frac{\sqrt3}{2}=22500+a^{2}-150\sqrt3\,a$

   El factor 2 se cancela con el denominador de $\cos 30^{\circ}$, y queda el coeficiente limpio $150\sqrt3$.

3. 3

   Reordena en la forma cuadrática estándar.

   $a^{2}-150\sqrt3\,a+8100=0$

   ya que $22500-14400=8100$.

4. 4

   Aplica la fórmula general y simplifica los radicales.

   $\left(150\sqrt3\right)^{2}=67500,\qquad 67500-4(8100)=35100,\qquad \sqrt{35100}=30\sqrt{39}$

   de modo que

   $a=\frac{150\sqrt3\pm 30\sqrt{39}}{2}=75\sqrt3\pm 15\sqrt{39}$

5. 5

   Pasa a decimales con cuidado. Con $\sqrt3=1.7320508$ y $\sqrt{39}=6.2449980$:

   $75\sqrt3=129.9038,\qquad 15\sqrt{39}=93.6750$

   $a=129.9038+93.6750=223.5788\qquad\text{o}\qquad a=129.9038-93.6750=36.2288$

6. 6

   Comprueba ambas en la ecuación original. Para $a=223.5788$: $22500+49987.5-2(150)(223.5788)(0.866025)=14400$ ✓. Para $a=36.2288$: $22500+1312.5-9412.5=14400$ ✓. Ambas son positivas, así que los dos triángulos son geométricamente válidos y hay que reportar ambos.