Simplifica sen(2x + π/2) + 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica la identidad que hay que usar. Un desfase de un cuarto de vuelta convierte el seno en coseno:

   $\sin\!\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\theta$

   Se deduce de la fórmula de la suma: $\sin\theta\cos\tfrac{\pi}{2}+\cos\theta\sin\tfrac{\pi}{2}=\sin\theta\cdot0+\cos\theta\cdot1=\cos\theta$.

2. 2

   Empareja el patrón correctamente. Aquí toda la expresión interior es $2x+\tfrac{\pi}{2}$, de modo que $\theta=2x$ — el $2x$ completo, no solo $x$. Sustituyendo:

   $\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(2x)$

   Un error frecuente es escribir en su lugar $\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)$ o $2\cos x$.

3. 3

   Deja la constante en paz. El $+5$ está fuera de la función trigonométrica, así que ninguna identidad lo toca:

   $\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)+5=\cos(2x)+5$

4. 4

   Lee las propiedades de la forma simplificada. Escrita como $\cos(2x)+5$, la función tiene amplitud $1$, periodo $\tfrac{2\pi}{2}=\pi$, línea media $y=5$ y recorrido $[4,6]$. Todo eso se ve muchísimo más fácil después de simplificar que antes — que es precisamente el propósito de hacerlo.

5. 5

   Observa que la simplificación también eliminó el desfase. La expresión original tenía un desplazamiento horizontal de $-\tfrac{\pi}{4}$ en $x$ (ya que $2x+\tfrac{\pi}{2}=2\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)$); reescribirla como coseno lo absorbe por completo y deja un desfase nulo.

6. 6

   Verifica numéricamente. Al comparar $\sin\!\left(2x+\tfrac{\pi}{2}\right)+5$ con $\cos(2x)+5$ en $40$ valores aleatorios de $x$ tomados de $[-9,9]$, hay coincidencia hasta la precisión de la máquina en todos los puntos ✓.