Resuelve para x: √(x² + 76.1² + 100²) = x / cos(20 grados).

Step-by-step solution

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   Fíjate en el dominio antes de elevar al cuadrado. El miembro izquierdo es una raíz cuadrada, así que es no negativo; el derecho es $x/\cos 20^\circ$ con $\cos 20^\circ>0$. Por tanto, toda solución debe cumplir $x\ge 0$, y una raíz negativa que apareciera después habría que descartarla por extraña.

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   Eleva al cuadrado ambos miembros y agrupa la constante. Elevar al cuadrado es legítimo aquí porque los dos miembros son no negativos:

   $x^2+76.1^2+100^2=\frac{x^2}{\cos^2 20^\circ}\;\Longrightarrow\;76.1^2+100^2=x^2\left(\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1\right)$

   La constante es $K=76.1^2+10000=15791.21$.

3. 3

   Usa la identidad pitagórica para simplificar el paréntesis. Como $\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$:

   $\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1=\tan^2 20^\circ$

   de modo que la ecuación queda $x^2\tan^2 20^\circ=15791.21$. Reconocer esta identidad es lo que convierte una ecuación trigonométrica enredada en un despeje de una sola línea.

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   Despeja $x$, conservando solo la raíz positiva.

   $x=\frac{\sqrt{15791.21}}{\tan 20^\circ}=\frac{125.6631}{0.3639702}\approx 345.26$

   La raíz negativa $-x$ satisface la ecuación elevada al cuadrado, pero no la original, porque haría negativo el miembro derecho mientras el izquierdo sigue siendo positivo.

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   Verifica sustituyendo hacia atrás. Con $x\approx 345.26$, el miembro izquierdo es $\sqrt{x^2+15791.21}$ y el derecho es $x/\cos 20^\circ$; ambos dan el mismo número con siete cifras significativas, lo que confirma la raíz y descarta una solución extraña.