Verdadero o falso: csc(7π/6) = −2.

Step-by-step solution

1. 1

   Recordar la definición de cosecante. La cosecante no es una función inversa, sino un recíproco:

   $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$

   Así que toda la pregunta se reduce a hallar $\sin\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)$ de forma exacta.

2. 2

   Ubicar el ángulo y hallar su ángulo de referencia. Escribe el ángulo como un giro que pasa de $\pi$:

   $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$

   Un ángulo que apenas supera $\pi$ (es decir, $180^{\circ}$) está en el tercer cuadrante, y su ángulo de referencia es $\tfrac{\pi}{6} = 30^{\circ}$.

3. 3

   Aplicar el signo del cuadrante. En el tercer cuadrante las coordenadas $x$ e $y$ sobre la circunferencia unitaria son ambas negativas, así que ahí el seno es negativo. Con $\sin\tfrac{\pi}{6} = \tfrac12$,

   $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

   El punto de la circunferencia unitaria es $\left(-\tfrac{\sqrt3}{2},\, -\tfrac12\right)$, y la coordenada $y$ es el seno.

4. 4

   Tomar el recíproco.

   $\csc\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{-\tfrac12} = -2$

   Un recíproco conserva el signo, así que un seno negativo da una cosecante negativa — y como $\left|\sin\right| = \tfrac12 < 1$, la cosecante debe tener valor absoluto mayor que $1$, lo cual es coherente con $2$.

5. 5

   Responder la pregunta de verdadero o falso. La afirmación coincide exactamente con el valor calculado, así que es verdadera. Una comprobación numérica da $1/\sin(7\pi/6) = -2.000000000000001$, siendo ese residuo diminuto un error de punto flotante y no una discrepancia real.