Evalúa arccos(1/√3), dando el resultado en radianes y en grados.

Step-by-step solution

1. 1

   Replantea la notación como una ecuación. Pedir $\arccos(1/\sqrt3)$ significa hallar el único ángulo $\theta$ del rango principal $[0,\pi]$ con

   $\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}$

   La restricción del rango es lo que hace que la respuesta sea un solo número y no una familia infinita.

2. 2

   Compara primero el dato con los ángulos notables. Los cosenos que se espera que reconozcas son

   $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\approx0.8660,\quad \cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\approx0.7071,\quad \cos60^\circ=\frac12$

   Nuestro dato es $1/\sqrt3\approx0.57735$, que no coincide con ninguno, así que ningún múltiplo exacto de $\pi$ va a servir.

3. 3

   Ubica el ángulo por acotación. Como $0.5<0.57735<0.7071$ y el coseno es decreciente en $[0,\pi]$, el ángulo debe cumplir

   $45^\circ<\theta<60^\circ$

   Esta acotación es la comprobación barata de lo que devuelva la calculadora.

4. 4

   Evalúa numéricamente. Con cuatro decimales,

   $\theta=\arccos(0.577350\ldots)=0.9553\text{ rad}$

   Convirtiendo con $180^\circ/\pi$:

   $\theta=0.9553166\times\frac{180}{\pi}=54.7356^\circ$

   que en efecto queda dentro de la acotación de $45^\circ$ a $60^\circ$.

5. 5

   Observa de dónde sale realmente este ángulo. $54.7356^\circ$ es el ángulo entre la diagonal espacial de un cubo y una arista, y su compañero relacionado por el suplemento, $109.47^\circ$, es el ángulo de enlace tetraédrico, así que este arcocoseno concreto aparece constantemente en cristalografía y en química.

6. 6

   Da la respuesta de las dos formas.

   $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)\approx0.9553\text{ rad}\approx54.74^\circ$