Resuelve sen²x + sen x = 0 para x en el intervalo [0, 2π).

Step-by-step solution

1. 1

   Trátala como una cuadrática en $\sin x$. Sustituir $u = \sin x$ convierte la ecuación en $u^2 + u = 0$. Reconocer la forma cuadrática es la jugada clave; aquí no hace falta ninguna identidad.

2. 2

   Factoriza en lugar de dividir. Saca factor común $\sin x$:

   $\sin x\,(\sin x + 1) = 0$

   No dividas ambos miembros entre $\sin x$: eso descarta en silencio todas las soluciones con $\sin x = 0$, que aquí son la mayor parte de la respuesta.

3. 3

   Sepárala en dos ecuaciones sencillas. Un producto solo vale cero cuando uno de sus factores es cero:

   $\sin x = 0 \qquad \text{o bien} \qquad \sin x = -1$

4. 4

   Resuelve cada una en $[0, 2\pi)$. El seno se anula en los extremos y en el centro del ciclo, y alcanza su mínimo $-1$ una sola vez:

   $\sin x = 0 \;\Rightarrow\; x = 0,\ \pi \qquad (2\pi \text{ queda excluido por el intervalo semiabierto})$

   $\sin x = -1 \;\Rightarrow\; x = \frac{3\pi}{2}$

5. 5

   Reúne y verifica todas las raíces. El conjunto solución es $\left\{0,\ \pi,\ \dfrac{3\pi}{2}\right\}$. Sustituyendo: en $x=0$, $0 + 0 = 0$ ✓; en $x=\pi$, $0 + 0 = 0$ ✓; en $x = \tfrac{3\pi}{2}$, $(-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$ ✓. Un barrido numérico de $2$ millones de puntos a lo largo de $[0,2\pi)$ solo encuentra ceros en $0$, $\pi$ y $1.5\pi$, así que no se ha escapado nada; en particular $\tfrac{2\pi}{3}$ y $\tfrac{4\pi}{3}$, que aparecen en las listas habituales de distractores, dan $\tfrac34 \pm \tfrac{\sqrt3}{2} \neq 0$.