Sabiendo que cos²x = 6 sen⁴x, halla sen 2x.

Step-by-step solution

1. 1

   Reduce todo a una sola cantidad. Los dos miembros solo contienen potencias pares, así que la identidad pitagórica permite trabajar con una única incógnita. Toma

   $u=\sin^{2}x,\qquad\text{de modo que}\qquad\cos^{2}x=1-u,\qquad \sin^{4}x=u^{2}.$

   Elegir $u=\sin^{2}x$ en lugar de $\sin x$ evita por completo las complicaciones de signo: nada en el enunciado distingue $x$ de $-x$.

2. 2

   Forma y resuelve la cuadrática. Sustituyendo en $\cos^{2}x=6\sin^{4}x$:

   $1-u=6u^{2}\;\Longrightarrow\;6u^{2}+u-1=0\;\Longrightarrow\;(3u-1)(2u+1)=0,$

   así que $u=\tfrac13$ o $u=-\tfrac12$.

3. 3

   Descarta la raíz imposible. Como $u=\sin^{2}x$ es un cuadrado, $u\ge0$, de modo que se rechaza $u=-\tfrac12$. Además $u=\sin^{2}x\le1$, y $\tfrac13$ también supera esa prueba. Por tanto

   $\sin^{2}x=\frac13,\qquad \cos^{2}x=1-\frac13=\frac23.$

   Comprobando la condición original: $6\sin^{4}x=6\cdot\tfrac19=\tfrac23=\cos^{2}x$ ✓.

4. 4

   Usa la fórmula del ángulo doble en forma cuadrada. A partir de $\sin 2x=2\sin x\cos x$, elevar al cuadrado evita tener que conocer los signos individuales de $\sin x$ y $\cos x$:

   $\sin^{2}2x=4\sin^{2}x\cos^{2}x=4\cdot\frac13\cdot\frac23=\frac89.$

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   Extrae la raíz cuadrada conservando los dos signos. Por tanto

   $\sin 2x=\pm\sqrt{\frac89}=\pm\frac{2\sqrt2}{3}\approx\pm0.9428.$

   Los dos signos se dan realmente: la condición original solo restringe $\sin^{2}x$, así que $x$ puede estar en cualquier cuadrante, y $\sin 2x$ es positivo en el primer y el tercer cuadrante y negativo en el segundo y el cuarto. Sin información adicional sobre el cuadrante, la respuesta tiene que llevar el $\pm$.