Resuelve cos(2x − π/3) + cos x = 0.5 para x en [0, 2π).

Step-by-step solution

1. 1

   Combina los dos cosenos con la identidad de suma a producto. Usando $\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ con $A=2x-\frac{\pi}{3}$ y $B=x$: $\frac{A+B}{2}=\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{6},\qquad \frac{A-B}{2}=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6},$ de modo que la ecuación queda $2\cos\!\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac12,\quad\text{es decir,}\quad \cos\!\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac14.$

2. 2

   Reconoce que no existe forma cerrada. Los argumentos de los dos cosenos tienen frecuencias en razón $3:1$, así que el producto no se puede reducir a una sola función trigonométrica de un único ángulo. Sustituir $t=\tan\frac{x}{2}$ convierte la ecuación en una cuártica en $t$ con raíces irracionales, de modo que aquí lo honesto es una solución numérica.

3. 3

   Acota el número de soluciones. Desarrollando con la fórmula del ángulo doble, $\cos(2x-\tfrac{\pi}{3})=\tfrac12\cos 2x+\tfrac{\sqrt3}{2}\sin 2x$, así que el miembro izquierdo es una combinación suave y $2\pi$-periódica de los dos primeros armónicos. Al muestrearlo en $[0,2\pi)$ se ve que recorre valores entre $-1.583246$ y $1.891702$ y que cruza el nivel $0.5$ exactamente dos veces, de modo que esperamos dos soluciones.

4. 4

   Acota y biseca los dos cruces. Toma $f(x)=\cos(2x-\tfrac{\pi}{3})+\cos x-0.5$. Entonces $f(1.2)=+0.078629$ y $f(1.3)=-0.214508$ encierran el primer cruce, mientras que $f(5.8)=-0.042926$ y $f(5.9)=+0.187084$ encierran el segundo. Bisecando cada intervalo hasta la precisión doble completa se obtiene $x_{1}=1.227110981,\qquad x_{2}=5.818834845.$

5. 5

   Sustituye ambas. Para $x_{1}=1.227110981$: $\cos(2x_{1}-\tfrac{\pi}{3})=0.163041$ y $\cos x_{1}=0.336959$, y $0.163041+0.336959=0.500000$. Para $x_{2}=5.818834845$: $\cos(2x_{2}-\tfrac{\pi}{3})=-0.394113$ y $\cos x_{2}=0.894113$, y $-0.394113+0.894113=0.500000$. Las dos soluciones cuadran hasta la sexta cifra decimal.

6. 6

   Pásalas a grados y anota la solución general. $x_{1}\approx 70.3083^\circ$ y $x_{2}\approx 333.3947^\circ$. Como toda la ecuación tiene periodo $2\pi$, cada solución es $x\approx 1.227111+2k\pi\quad\text{o bien}\quad x\approx 5.818835+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$