En el triángulo ABC se cumple (cos B + cos A cos C)/(sen B cos C) = a√3/b, con a = 3 y c = 2√3. Halla sen A.

Step-by-step solution

1. 1

   Usa la suma de ángulos para eliminar B del numerador. En todo triángulo $A+B+C=\pi$, así que $B=\pi-(A+C)$ y

   $\cos B=-\cos(A+C)=\sin A\sin C-\cos A\cos C.$

   Esta sustitución es todo el truco: es lo que hace que el incómodo numerador se colapse.

2. 2

   Simplifica el numerador.

   $\cos B+\cos A\cos C=\left(\sin A\sin C-\cos A\cos C\right)+\cos A\cos C=\sin A\sin C.$

   Así, el miembro izquierdo queda

   $\frac{\sin A\sin C}{\sin B\cos C}.$

3. 3

   Pasa el miembro derecho a senos con el teorema del seno. Como $\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin A}{\sin B}$,

   $\frac{a\sqrt{3}}{b}=\frac{\sqrt{3}\sin A}{\sin B}.$

4. 4

   Cancela y despeja C. Igualando los dos miembros y cancelando el factor común $\dfrac{\sin A}{\sin B}$ (no nulo en un triángulo):

   $\frac{\sin C}{\cos C}=\sqrt{3}\ \Longrightarrow\ \tan C=\sqrt{3}\ \Longrightarrow\ C=\frac{\pi}{3},$

   ya que $C$ está en $(0,\pi)$ y $\cos C\neq 0$ para que la expresión original esté definida.

5. 5

   Aplica el teorema del seno con los lados dados. Con $a=3$, $c=2\sqrt3$ y $\sin C=\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$:

   $\sin A=\frac{a\sin C}{c}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\sqrt3}=\frac{\frac{3\sqrt3}{2}}{2\sqrt3}=\frac{3}{4}.$

6. 6

   Verifica la coherencia del triángulo. Como $a=3<c=2\sqrt3\approx 3.464$, el ángulo $A$ tiene que ser menor que $C=60^\circ$; en efecto, $\arcsin\tfrac34\approx 48.6^\circ<60^\circ$, así que el valor agudo es el correcto y no sobrevive ninguna segunda solución ambigua.