Resuelve sen 2x = √3/2 para x en el intervalo de 0 a 2π.

Step-by-step solution

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   Fíjate en lo que el intervalo le hace al ángulo doble. Si $x$ recorre $[0, 2\pi]$, entonces $2x$ recorre $[0, 4\pi]$: dos vueltas completas. Por eso esta ecuación tiene el doble de soluciones que tendría $\sin x = \tfrac{\sqrt3}{2}$, y olvidarlo es la forma clásica de perder la mitad de las respuestas.

2. 2

   Resuelve el ángulo doble en forma general. $\sin\theta = \tfrac{\sqrt3}{2}$ tiene ángulo de referencia $\tfrac{\pi}{3}$, con soluciones en el primer y el segundo cuadrante:

   $2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \qquad \text{o bien} \qquad 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

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   Divide entre 2 para obtener la solución general en x. Dividir cada término entre $2$ convierte el periodo $2\pi$ en $\pi$:

   $x = \frac{\pi}{6} + \pi k \qquad \text{o bien} \qquad x = \frac{\pi}{3} + \pi k$

   Ese periodo reducido a $\pi$ es la razón algebraica de que dos familias den cuatro soluciones en un intervalo de longitud $2\pi$.

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   Selecciona los valores que caen dentro de [0, 2π]. De la primera familia: $k=0$ da $\tfrac{\pi}{6}$, $k=1$ da $\tfrac{7\pi}{6}$ y $k=2$ da $\tfrac{13\pi}{6} \approx 6.807 > 2\pi \approx 6.283$, que se sale. De la segunda: $k=0$ da $\tfrac{\pi}{3}$, $k=1$ da $\tfrac{4\pi}{3}$ y $k=2$ da $\tfrac{7\pi}{3}$, que también se sale. Los $k$ negativos dan ángulos negativos.

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   Enumera y verifica las cuatro soluciones.

   $x = \frac{\pi}{6},\quad \frac{\pi}{3},\quad \frac{7\pi}{6},\quad \frac{4\pi}{3}$

   Al duplicar cada una se obtiene $2x = \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{2\pi}{3},\ \tfrac{7\pi}{3},\ \tfrac{8\pi}{3}$, y el $\sin$ de cada una vale $\tfrac{\sqrt3}{2} \approx 0.8660254$ hasta la decimoquinta cifra decimal. Observa que las parejas $\left(\tfrac{\pi}{6}, \tfrac{\pi}{3}\right)$ y $\left(\tfrac{7\pi}{6}, \tfrac{4\pi}{3}\right)$ son simétricas respecto de $\tfrac{\pi}{4}$ y $\tfrac{5\pi}{4}$, los máximos de $\sin 2x$.