Un triángulo tiene el ángulo alfa = 36 grados, el ángulo gamma = 50 grados y el lado b = 78.2 entre ellos. Aproxima el área del triángulo a la décima más cercana.

Step-by-step solution

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   Halla primero el tercer ángulo: sin él no se puede empezar nada. Los ángulos de un triángulo suman $180^\circ$:

   $\beta=180^\circ-\alpha-\gamma=180^\circ-36^\circ-50^\circ=94^\circ$

   Como $\beta$ es obtuso, el lado $b$ (opuesto a $\beta$) es el lado más largo del triángulo, una comprobación útil sobre los números que vienen a continuación.

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   Reconoce la configuración: el lado conocido está entre los ángulos conocidos (ALA). La notación estándar coloca el lado $b$ opuesto al ángulo $\beta$, así que, conocidos $\alpha$ y $\gamma$, el lado $b$ es el lado comprendido. Ya están determinados todos los ángulos y una longitud, con lo que el triángulo queda fijado y no hay que preocuparse por el caso ambiguo (que sólo aparece en los problemas LLA).

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   Deduce la fórmula del área a partir del teorema del seno. El área es $K=\tfrac12ac\sin\beta$, y el teorema del seno da los dos lados desconocidos en función de $b$:

   $a=\frac{b\sin\alpha}{\sin\beta},\qquad c=\frac{b\sin\gamma}{\sin\beta}$

   Sustituyendo,

   $K=\frac12\cdot\frac{b\sin\alpha}{\sin\beta}\cdot\frac{b\sin\gamma}{\sin\beta}\cdot\sin\beta=\frac{b^2\sin\alpha\sin\gamma}{2\sin\beta}$

   Usar esta única fórmula evita redondear las longitudes intermedias, que es justo donde las soluciones en dos pasos suelen perder una décima.

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   Sustituye los valores. Con $b^2=78.2^2=6115.24$ y (con siete decimales)

   $\sin36^\circ=0.5877853,\quad \sin50^\circ=0.7660444,\quad \sin94^\circ=0.9975641$

   el numerador y el denominador son

   $6115.24\times0.5877853\times0.7660444=2753.5068,\qquad 2\times0.9975641=1.9951281$

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   Divide y redondea.

   $K=\frac{2753.5068}{1.9951281}=1380.1153\ldots\approx1380.1$

   Fíjate en las cifras que siguen al punto decimal: el valor sin redondear es $1380.115$, así que redondea hacia abajo a $1380.1$. Arrastrar los senos con sólo cuatro decimales da $1380.2$ y llevaría a un redondeo equivocado.

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   Contrasta con un método completamente distinto. Al despejar los lados se obtiene $a=b\sin\alpha/\sin\beta=46.0770$ y $c=b\sin\gamma/\sin\beta=60.0510$. Entonces $K=\tfrac12ac\sin94^\circ=1380.1153$, y la fórmula de Herón con $s=\tfrac{a+b+c}{2}=92.1640$ devuelve también $1380.1153$. Tres caminos independientes que coinciden hasta el cuarto decimal zanjan la respuesta.