Use identidades para simplificar sen²θ + tan²θ + cos²θ.

Step-by-step solution

1. 1

   Reordene para juntar el par pitagórico. La suma es conmutativa, así que la expresión se puede reescribir como

   $\left(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\right)+\tan^{2}\theta$

   Detectar el par $\sin^{2}+\cos^{2}$ antes de convertir nada a senos y cosenos es lo que mantiene el trabajo en dos líneas.

2. 2

   Aplique la identidad fundamental.

   $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$

   de modo que la expresión se convierte en $1+\tan^{2}\theta$.

3. 3

   Reconozca la segunda identidad pitagórica. Dividir $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ entre $\cos^{2}\theta$ da

   $\tan^{2}\theta+1=\sec^{2}\theta$

4. 4

   Escriba la respuesta.

   $\boxed{\sec^{2}\theta}$

   válida dondequiera que $\tan\theta$ y $\sec\theta$ estén definidas, es decir, cuando $\cos\theta\neq 0$.

5. 5

   Compruebe en un ángulo cómodo. En $\theta=60^{\circ}$: $\sin^{2}=0.75$, $\tan^{2}=3$, $\cos^{2}=0.25$, así que la suma es $4$; y $\sec^{2}60^{\circ}=\left(\tfrac{1}{0.5}\right)^{2}=4$ ✓. En $\theta=45^{\circ}$: $0.5+1+0.5=2$ y $\sec^{2}45^{\circ}=\left(\sqrt2\right)^{2}=2$ ✓.