Resuelve para x: √(x² + 125.4² + 100²) = x / cos(20 grados).

Step-by-step solution

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   Fíjate en el dominio antes de elevar al cuadrado. El miembro izquierdo es una raíz cuadrada, así que es no negativo; el derecho es $x/\cos 20^\circ$ con $\cos 20^\circ>0$. Por tanto, toda solución debe cumplir $x\ge 0$, y una raíz negativa que apareciera después habría que descartarla por extraña.

2. 2

   Eleva al cuadrado ambos miembros y agrupa la constante. Elevar al cuadrado es legítimo aquí porque los dos miembros son no negativos:

   $x^2+125.4^2+100^2=\frac{x^2}{\cos^2 20^\circ}\;\Longrightarrow\;125.4^2+100^2=x^2\left(\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1\right)$

   La constante es $K=125.4^2+10000=25725.16$.

3. 3

   Usa la identidad pitagórica para simplificar el paréntesis. Como $\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$:

   $\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1=\tan^2 20^\circ$

   de modo que la ecuación queda $x^2\tan^2 20^\circ=25725.16$. Reconocer esta identidad es lo que convierte una ecuación trigonométrica enredada en un despeje de una sola línea.

4. 4

   Despeja $x$, conservando solo la raíz positiva.

   $x=\frac{\sqrt{25725.16}}{\tan 20^\circ}=\frac{160.3907}{0.3639702}\approx 440.67$

   La raíz negativa $-x$ satisface la ecuación elevada al cuadrado, pero no la original, porque haría negativo el miembro derecho mientras el izquierdo sigue siendo positivo.

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   Verifica sustituyendo hacia atrás. Con $x\approx 440.67$, el miembro izquierdo es $\sqrt{440.67^2+25725.16}$ y el derecho es $440.67/\cos 20^\circ$; ambos dan el mismo valor con siete cifras significativas, lo que confirma la raíz.

   $\sqrt{x^2+25725.16}=\frac{x}{\cos 20^\circ}\;\checkmark$