Desde la cima de una colina el ángulo de depresión de un punto A del suelo es de 30 grados. Tras bajar tres cuartas partes de la ladera recta, el ángulo de depresión de A es de 15 grados. Si la ladera forma un ángulo θ con la horizontal, hallar tan θ.

Step-by-step solution

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   Fijar coordenadas y normalizar la longitud de la ladera. Como la respuesta es un ángulo, solo importan las razones, así que se toma la longitud total de la ladera como $L=1$. La cima $B$ queda entonces a una altura

   $h=\sin\theta$

   sobre el suelo, y descender una distancia $s$ por la ladera baja $s\sin\theta$ y acerca $s\cos\theta$ horizontalmente hacia $A$.

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   Usar la primera observación para fijar la distancia horizontal. Sea $d$ la distancia horizontal de $B$ a $A$. El ángulo de depresión en $B$ es $30^{\circ}$, así que

   $\tan 30^{\circ}=\frac{h}{d}=\frac{\sin\theta}{d}\quad\Longrightarrow\quad d=\sqrt3\,\sin\theta$

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   Escribir la segunda observación. Tras descender $\tfrac34$ de la ladera, el observador está a una altura $\sin\theta-\tfrac34\sin\theta=\tfrac14\sin\theta$ y a una distancia horizontal $d-\tfrac34\cos\theta$ de $A$. Por lo tanto

   $\tan 15^{\circ}=\frac{\tfrac14\sin\theta}{\sqrt3\sin\theta-\tfrac34\cos\theta}$

   La incógnita $d$ ya quedó eliminada, y queda una sola ecuación en $\theta$.

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   Despejar tan θ. Multiplicando en cruz y agrupando los términos en $\sin\theta$:

   $\tan 15^{\circ}\left(\sqrt3\sin\theta-\tfrac34\cos\theta\right)=\tfrac14\sin\theta$

   $\sin\theta\left(\sqrt3\tan 15^{\circ}-\tfrac14\right)=\tfrac34\tan 15^{\circ}\cos\theta$

   $\tan\theta=\frac{\tfrac34\tan 15^{\circ}}{\sqrt3\tan 15^{\circ}-\tfrac14}$

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   Sustituir el valor exacto de tan 15°. Como $\tan 15^{\circ}=2-\sqrt3$,

   $\tan\theta=\frac{3(2-\sqrt3)}{4\sqrt3(2-\sqrt3)-1}=\frac{3(2-\sqrt3)}{8\sqrt3-12-1}=\frac{6-3\sqrt3}{8\sqrt3-13}$

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   Racionalizar el denominador. Se multiplica arriba y abajo por $8\sqrt3+13$; el denominador queda $(8\sqrt3)^{2}-13^{2}=192-169=23$, y el numerador es

   $(6-3\sqrt3)(8\sqrt3+13)=48\sqrt3+78-72-39\sqrt3=9\sqrt3+6$

   $\boxed{\tan\theta=\frac{6+9\sqrt3}{23}\approx 0.9386}$

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   Comprobar la coherencia de la respuesta. Numéricamente $\theta=\arctan(0.9386)=43.19^{\circ}$. El planteamiento exige que $A$ esté más allá del pie de la ladera, es decir $d=\sqrt3\sin\theta>\cos\theta$, lo que significa $\tan\theta>\tfrac{1}{\sqrt3}$, o sea $\theta>30^{\circ}$ — se cumple ✓. Sustituyendo de vuelta: con $\theta=43.19^{\circ}$, $d=\sqrt3(0.6845)=1.1854$ y la segunda observación da $\arctan\!\left(\tfrac{0.1711}{1.1854-0.5468}\right)=\arctan(0.2679)=15.00^{\circ}$ ✓.