Halla el valor exacto de arccos(0.33).

Step-by-step solution

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   Lee qué es lo que pide el coseno inverso. $\arccos(0.33)$ es el único ángulo $\theta$ en el rango principal $[0,\pi]$ (es decir $[0^\circ,180^\circ]$) con $\cos\theta = 0.33.$ La restricción a $[0,\pi]$ es lo que hace que la respuesta sea un único número y no una familia infinita.

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   Comprueba si $0.33$ es un valor especial. Los cosenos que tienen forma cerrada en trigonometría elemental son los construidos a partir de $0,\pm\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt2}{2},\pm\tfrac{\sqrt3}{2},\pm1$ (y unos pocos radicales anidados para los múltiplos de $3^\circ$). Como $0.33$ no es ninguno de esos, ninguna combinación de radicales y $\pi$ va a reducir este ángulo.

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   Concluye que el valor exacto es la propia expresión con coseno inverso. La respuesta exacta honesta es por tanto $\theta=\arccos(0.33),$ dejada en forma inversa. Escribir algo como $\tfrac{\pi}{2}-0.33$ sería un error: esa identidad vale para $\arcsin$, no para un decimal cualquiera.

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   Obtén el valor decimal en radianes. Evaluando el coseno inverso numéricamente, $\arccos(0.33)=1.234492751\ldots \approx 1.234493\ \text{rad}.$ Una comprobación rápida: $\arccos(0)=\tfrac{\pi}{2}\approx 1.5708$ y $\arccos(0.5)=\tfrac{\pi}{3}\approx 1.0472$, y $0.33$ está entre $0$ y $0.5$, así que el ángulo tiene que estar entre $1.0472$ y $1.5708$ - y lo está.

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   Convierte a grados. Multiplica por $180/\pi$: $1.234492751\times\frac{180}{\pi}=70.7312245\ldots\approx 70.7312^\circ.$ Verificando en el otro sentido, $\cos(70.7312^\circ)=0.330000$, con lo que el círculo se cierra.

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   Cuidado con el redondeo. Truncar demasiado pronto es el desliz habitual aquí: $70.51^\circ$ corresponde a $\cos\theta=0.33364$, no a $0.33$, así que dar $70.51^\circ$ se desvía en más de dos décimas de grado de un modo que se nota de inmediato al volver a tomar el coseno.