Resuelve sen(x) = −1/2 para todo x real.

Step-by-step solution

1. 1

   Halla el ángulo de referencia a partir del valor absoluto. Olvida el signo por un momento: $\sin\theta=\tfrac12$ en el ángulo notable

   $\theta=\frac{\pi}{6}=30^\circ$

   del triángulo de $30$-$60$-$90$. Así que $\tfrac{\pi}{6}$ es el ángulo de referencia, y no hace falta calculadora.

2. 2

   Determina en qué cuadrantes el seno es negativo. El seno es la coordenada $y$ sobre la circunferencia unitaria, así que es negativo en el cuadrante III y en el cuadrante IV (por debajo del eje). Dos cuadrantes significan dos soluciones por vuelta.

3. 3

   Construye la solución del cuadrante III. Mide el ángulo de referencia a partir de $\pi$:

   $x=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$

   Aquí $\sin\tfrac{7\pi}{6}=-\tfrac12$ ✓ (las dos coordenadas son negativas).

4. 4

   Construye la solución del cuadrante IV. Mide el ángulo de referencia hacia atrás desde $2\pi$:

   $x=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$

   Aquí $\sin\tfrac{11\pi}{6}=-\tfrac12$ ✓.

5. 5

   Extiende por el periodo. El seno tiene periodo $2\pi$, así que toda solución es una de estas dos desplazada un número entero de vueltas:

   $x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\qquad\text{o bien}\qquad x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   Hacen falta las dos familias: están separadas $\tfrac{4\pi}{6}=\tfrac{2\pi}{3}$, que no es múltiplo de $2\pi$. (De forma equivalente, $x=-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k$ describe esa misma familia del cuadrante IV.)

6. 6

   Verifica para varios k. Evaluando ambas familias en $k=-2,\,0,\,3$ se obtiene $\sin x=-0.500000$ en los seis casos ✓, lo que confirma el periodo y las dos ramas.