Resuelve tan(θ) = 1 para todo θ real.

Step-by-step solution

1. 1

   Halla el ángulo de referencia a partir de la definición. Como $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, que la tangente valga $1$ significa que $\sin\theta=\cos\theta$. En un triángulo rectángulo eso dice que el cateto opuesto y el adyacente son iguales: el triángulo de $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$. Así que

   $\theta=45^\circ=\frac{\pi}{4}$

   es una solución, confirmada exactamente por $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$.

2. 2

   Localiza la segunda solución dentro de una vuelta completa. La tangente también es positiva en el tercer cuadrante, donde seno y coseno son ambos negativos y siguen siendo iguales: en $\theta=\tfrac{5\pi}{4}$, $\sin=\cos=-\tfrac{\sqrt2}{2}$, así que de nuevo $\tan=1$.

3. 3

   Reconoce que el periodo es pi, no 2pi. La separación entre esas dos soluciones es exactamente $\pi$. Ocurre porque cambiar de signo a la vez el seno y el coseno deja intacto su cociente: $\tan(\theta+\pi)=\tan\theta$. Así que la tangente se repite cada media vuelta, a diferencia del seno y el coseno, que necesitan $2\pi$.

4. 4

   Escribe la solución general como una única familia. Como el periodo es $\pi$, las dos soluciones base quedan recogidas de una vez:

   $\theta=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   Tomando $k=0$ sale $\tfrac{\pi}{4}$ y con $k=1$ sale $\tfrac{5\pi}{4}$. Aquí no hace falta una segunda familia: una diferencia real frente a $\sin x=c$ o $\cos x=c$, que sí requieren dos.

5. 5

   Da la forma en grados.

   $\theta=45^\circ+180^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   es decir, $45^\circ,\ 225^\circ,\ 405^\circ,\ -135^\circ,\ \ldots$

6. 6

   Verifica para varios k. Evaluando $\tan\left(\tfrac{\pi}{4}+k\pi\right)$ para $k=-3,\,0,\,1,\,5$ se obtiene $1.000000$ en todos los casos ✓, y ninguno de estos ángulos cae sobre un múltiplo impar de $\tfrac{\pi}{2}$, donde la tangente no estaría definida ✓.