El avión Q asciende a 450 km/h por una trayectoria que forma un ángulo de 45° con la horizontal. Al cabo de 0.7 minutos, ¿está Q más alto o más bajo que el avión P, que se encuentra a 5 km de altitud?

Step-by-step solution

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   Descompón la velocidad en sus componentes horizontal y vertical. La velocidad de $450$ km/h se mide a lo largo de la trayectoria de vuelo, no en vertical. En el triángulo rectángulo que forman la trayectoria, el suelo y la altitud, la altitud es el cateto opuesto al ángulo de ascenso, así que

   $v_y=450\sin 45^{\circ}.$

   Usar la propia velocidad como ritmo de subida es el error clásico de este problema.

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   Evalúa la velocidad vertical. Con $\sin 45^{\circ}=\tfrac{\sqrt2}{2}$,

   $v_y=450\cdot \tfrac{\sqrt2}{2}=318.1981\ \text{km/h}.$

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   Convierte el tiempo a horas. La velocidad está expresada por hora, pero el tiempo viene en minutos, así que

   $t=\frac{0.7}{60}=0.0116667\ \text{h}.$

   Mezclar unidades en este punto es el segundo error clásico.

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   Calcula la altura ganada.

   $h_{Q}=v_y\,t=318.198\times 0.0116667=3.71231\ \text{km}.$

   Equivalentemente: recorre $5.25$ km a lo largo de la trayectoria y toma de esa distancia la fracción $\sin 45^{\circ}$. Aquí $\sin 45^{\circ}=\tfrac{\sqrt2}{2}$ es irracional, así que la altura exacta es $5.25\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}=\tfrac{21\sqrt2}{8}$ km, numéricamente $3.712311$ km.

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   Compara con el avión $P$. Como $3.7123 < 5$, el avión $Q$ está más bajo que el avión $P$. Para adelantar a $P$ necesitaría $t>0.9428$ minutos a la misma velocidad y con el mismo ángulo.