Resuelve 6 sen⁴x + sen²x − 6 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Sustituye para dejar a la vista una cuadrática. Solo aparecen potencias pares de $\sin x$, así que toma $u=\sin^2x$:

   $6u^2+u-6=0$

   La sustitución guarda además una restricción que la cuadrática por sí sola desconoce: $u=\sin^2x$ obliga a $0\le u\le 1$.

2. 2

   Resuelve la cuadrática. Con $\Delta=1^2-4(6)(-6)=1+144=145$ (que no es un cuadrado perfecto),

   $u=\frac{-1\pm\sqrt{145}}{12}$

3. 3

   Descarta la raíz inadmisible. Como $\sqrt{145}\approx 12.0416$,

   $u_1=\frac{-1+\sqrt{145}}{12}\approx 0.9201329,\qquad u_2=\frac{-1-\sqrt{145}}{12}\approx -1.0868$

   Solo $u_1$ cumple $0\le u\le 1$; $u_2$ es negativa y un cuadrado nunca puede serlo, así que se rechaza. (Si $u_1$ hubiera pasado de $1$, la ecuación no habría tenido ninguna solución.)

4. 4

   Extrae raíces cuadradas para obtener $\sin x$.

   $\sin x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{145}-1}{12}}\approx \pm 0.9592356$

   Hay que conservar los dos signos, porque $\sin^2 x$ pierde la información del signo.

5. 5

   Escribe la solución general. Las dos elecciones de signo se combinan en la familia estándar de una ecuación con seno:

   $x=n\pi\pm\arcsin\!\left(\sqrt{\frac{\sqrt{145}-1}{12}}\right),\qquad n\in\mathbb{Z}$

   Numéricamente, $\arcsin(0.9592356)\approx 1.2843$ rad $\approx 73.58^{\circ}$, así que las soluciones son $x\approx n\pi\pm 1.2843$.

6. 6

   Verifica. Con $u=0.9201329$: $6u^2+u-6=6(0.8466445)+0.9201329-6=5.0798671+0.9201329-6=0$ ✓. Y tomando $x=1.2843$, $\sin x=0.9592356$, de modo que $\sin^2x=u$, tal como se necesitaba.