Halla el ángulo de referencia de cada uno de los siguientes: 210 grados, 135 grados, 5pi/3 y 5pi/4.

Step-by-step solution

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   Ten claro qué es un ángulo de referencia. El ángulo de referencia de $\theta$ es el ángulo agudo que forma el lado terminal de $\theta$ con el eje $x$, nunca con el eje $y$. Siempre está en $(0^\circ,90^\circ)$, es decir $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ en radianes, y es lo que permite leer el tamaño de $\sin\theta$, $\cos\theta$ o $\tan\theta$ en el primer cuadrante y ponerle después el signo correcto.

2. 2

   Apréndete la única regla de cada cuadrante. Para $\theta$ entre $0$ y una vuelta completa:

   Cuadrante	Grados	Radianes
   I	$\theta$	$\theta$
   II	$180^\circ-\theta$	$\pi-\theta$
   III	$\theta-180^\circ$	$\theta-\pi$
   IV	$360^\circ-\theta$	$2\pi-\theta$

   Cada línea se limita a medir hacia atrás hasta el semieje $x$ que quede más cerca. Si $\theta$ es negativo o mayor que una vuelta completa, suma o resta primero $360^\circ$ ($2\pi$).

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   a. $210^\circ$. Como $180^\circ<210^\circ<270^\circ$, el ángulo está en el cuadrante III, así que resta $180^\circ$:

   $210^\circ-180^\circ=30^\circ$

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   b. $135^\circ$. Como $90^\circ<135^\circ<180^\circ$, el ángulo está en el cuadrante II, así que réstalo de $180^\circ$:

   $180^\circ-135^\circ=45^\circ$

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   c. $\dfrac{5\pi}{3}$. Escribe las fronteras con el mismo denominador: $\pi=\tfrac{3\pi}{3}$, $\tfrac{3\pi}{2}=\tfrac{4.5\pi}{3}$ y $2\pi=\tfrac{6\pi}{3}$. Como $\tfrac{5\pi}{3}$ queda entre $\tfrac{4.5\pi}{3}$ y $\tfrac{6\pi}{3}$, está en el cuadrante IV:

   $2\pi-\frac{5\pi}{3}=\frac{6\pi}{3}-\frac{5\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$

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   d. $\dfrac{5\pi}{4}$. Con $\pi=\tfrac{4\pi}{4}$ y $\tfrac{3\pi}{2}=\tfrac{6\pi}{4}$, el ángulo $\tfrac{5\pi}{4}$ cae en el cuadrante III:

   $\frac{5\pi}{4}-\pi=\frac{5\pi}{4}-\frac{4\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$

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   Comprueba cada respuesta con los valores del seno. Un ángulo de referencia debe reproducir la magnitud de las razones trigonométricas: $\sin 210^\circ=-\tfrac12$ y $\sin 30^\circ=\tfrac12$; $\sin 135^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$ y $\sin 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$; $\sin\tfrac{5\pi}{3}=-\tfrac{\sqrt3}{2}$ y $\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$; $\sin\tfrac{5\pi}{4}=-\tfrac{\sqrt2}{2}$ y $\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}$. En cada caso sólo cambia el signo, exactamente como debe ser. Observa que $210^\circ$ y $\tfrac{5\pi}{4}$ están ambos en el cuadrante III y aun así dan ángulos de referencia distintos: el cuadrante elige la regla, no la respuesta.