La gráfica de y = sen(2x + π/6) se traslada π/12 unidades a la izquierda. Escribe la ecuación de la nueva gráfica.

Step-by-step solution

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   Recuerda la regla del desplazamiento horizontal. Trasladar una gráfica $h$ unidades a la izquierda significa sustituir $x$ por $x+h$ en toda la expresión; desplazarla a la derecha usaría $x-h$. La dirección parece invertida precisamente porque un movimiento hacia la izquierda obliga a la función a alcanzar cada salida con una $x$ menor.

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   Sustituye $x\to x+\dfrac{\pi}{12}$. Con $h=\tfrac{\pi}{12}$:

   $y=\sin\!\left(2\left(x+\frac{\pi}{12}\right)+\frac{\pi}{6}\right).$

   La sustitución entra en todo el argumento, así que el coeficiente $2$ multiplica también al desplazamiento: aquí es donde la respuesta deja de ser obvia.

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   Desarrolla el argumento. Distribuyendo el $2$:

   $2\left(x+\frac{\pi}{12}\right)=2x+\frac{2\pi}{12}=2x+\frac{\pi}{6},$

   de modo que el argumento queda

   $2x+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=2x+\frac{\pi}{3}.$

   Un desplazamiento de $\tfrac{\pi}{12}$ cambia por tanto la fase en $\tfrac{\pi}{6}$: el doble del desplazamiento, porque la frecuencia angular es $2$.

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   Escribe la nueva ecuación.

   $y=\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{3}\right).$

   La amplitud ($1$) y el periodo ($\tfrac{2\pi}{2}=\pi$) no cambian; solo se mueve la fase, como debe ocurrir en una traslación pura.

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   Comprueba en dos puntos. En $x=0.3$: la original desplazada da $\sin\!\left(2(0.3+\tfrac{\pi}{12})+\tfrac{\pi}{6}\right)=0.9970828$ y la respuesta da $\sin\!\left(0.6+\tfrac{\pi}{3}\right)=0.9970828$ ✓. En $x=1.1$ las dos dan $-0.1054087$ ✓. Una comprobación útil sobre la dirección: escribir la original como $\sin\!\left(2\left(x+\tfrac{\pi}{12}\right)\right)$ muestra que su propio desplazamiento a la izquierda es $\tfrac{\pi}{12}$, así que la nueva gráfica queda $\tfrac{\pi}{6}$ a la izquierda de $\sin 2x$.