Halla todos los números reales que satisfacen sen x = √3/2.

Step-by-step solution

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   Halla el ángulo de referencia. El ángulo de referencia es el ángulo agudo cuyo seno tiene el mismo valor absoluto:

   $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\quad\Longrightarrow\quad \text{ángulo de referencia}=\frac{\pi}{3}$

2. 2

   Decide qué cuadrantes intervienen. El valor $\tfrac{\sqrt3}{2}$ es positivo, y $\sin x>0$ en los cuadrantes I y II. Por tanto hay exactamente dos soluciones en un periodo $[0,2\pi)$: una ecuación con seno cuyo valor está estrictamente entre $-1$ y $1$ siempre tiene dos.

3. 3

   Escribe las dos soluciones base. El cuadrante I da el propio ángulo de referencia; el cuadrante II da $\pi$ menos ese ángulo:

   $x=\frac{\pi}{3},\qquad x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$

4. 4

   Extiende con el periodo. El seno tiene periodo $2\pi$, así que toda solución se obtiene sumando múltiplos enteros de $2\pi$:

   $\boxed{\left\{x\ \middle|\ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\ \text{ o }\ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\right\}}$

5. 5

   Comprueba las dos familias y observa la forma compacta. $\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$ ✓ y $\sin\tfrac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt3}{2}$ ✓. Las dos familias también pueden escribirse con la única expresión $x=(-1)^{n}\tfrac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$, que genera el mismo conjunto. Sumar $\pi n$ en lugar de $2\pi n$ solo a $\tfrac{\pi}{3}$ incluiría por error $x=\tfrac{4\pi}{3}$, donde $\sin x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$.