Halla todos los números reales que satisfacen la ecuación sen x = −√2/2.

Step-by-step solution

1. 1

   Halla el ángulo de referencia a partir del valor absoluto. Olvida el signo por un momento: $\sin\theta = \tfrac{\sqrt2}{2}$ en $\theta = \tfrac{\pi}{4}$ (el ángulo de $45^{\circ}$ del triángulo rectángulo isósceles). Así que el ángulo de referencia es $\tfrac{\pi}{4}$.

2. 2

   Usa el signo para elegir los cuadrantes. El seno es la coordenada $y$ sobre la circunferencia unitaria, de modo que $\sin x < 0$ sitúa $x$ en el cuadrante III o IV. Hay exactamente dos ángulos así por vuelta, y los dos deben aparecer en la respuesta.

3. 3

   Escribe los dos ángulos base. En el cuadrante III el ángulo es $\pi + \tfrac{\pi}{4}$; en el cuadrante IV es $2\pi - \tfrac{\pi}{4}$:

   $x = \frac{5\pi}{4} \qquad \text{y} \qquad x = \frac{7\pi}{4}$

4. 4

   Extiende con el periodo. El seno tiene periodo $2\pi$, así que suma $2\pi n$ a cada ángulo base:

   $\left\{x \;\middle|\; x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \ \text{ o } \ x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}\right\}$

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   Verifica las dos familias. $\sin\tfrac{5\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2}$ ✓ y $\sin\tfrac{7\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2}$ ✓. Los conjuntos distractores construidos sobre $\tfrac{4\pi}{3}$ y $\tfrac{5\pi}{3}$ fallan, porque esos dan $\sin x = -\tfrac{\sqrt3}{2} \approx -0.866$, no $-0.7071$. Y un conjunto construido sobre $\tfrac{3\pi}{4}$ falla porque ese ángulo está en el cuadrante II, donde el seno es positivo.