Evalúa tan(7 grados) con cuatro decimales.

Step-by-step solution

1. 1

   Convierte el ángulo a radianes. Multiplicando por $\tfrac{\pi}{180}$:

   $7^\circ=0.1221730\ \text{rad}$

2. 2

   Usa el comportamiento de ángulo pequeño para predecir la respuesta. Para $x$ pequeño en radianes, $\tan x\approx x$, así que el valor debería quedar un poco por encima de $0.1222$. El término de corrección es cúbico:

   $\tan x\approx x+\frac{x^3}{3}$

3. 3

   Aplica la serie. Con $x=0.1221730$, $x^3=0.00182357$, de modo que

   $\tan x\approx 0.1221730+0.0006079=0.1227809$

   Ya es exacto hasta el quinto decimal, ya que el término siguiente es del orden de $x^5\approx 3\times 10^{-5}$ multiplicado por $\tfrac{2}{15}$.

4. 4

   Contrasta con la definición como cociente. $\tan\theta=\tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, y con $\sin 7^\circ\approx 0.1218693$ y $\cos 7^\circ\approx 0.9925462$:

   $\frac{0.1218693}{0.9925462}\approx 0.1227846$

5. 5

   Redondea y confirma. Con cuatro cifras decimales

   $\tan(7^\circ)\approx 0.1228$

   Una evaluación directa da $0.12278456$ $\checkmark$. Fíjate en que supera a $\sin 7^\circ$, como tiene que ser, porque dividir entre $\cos 7^\circ<1$ aumenta el valor.