Simplifica el arcotangente de x más el arcotangente de 1 sobre x.

Step-by-step solution

1. 1

   Fija primero el dominio. El término $\frac1x$ exige $x\neq 0$, así que la expresión está definida en $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$: dos piezas separadas, lo que ya avisa de que la respuesta puede diferir en cada una.

2. 2

   Caso $x>0$: usa ángulos complementarios. Pon $\theta=\arctan x$, de modo que $\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ y $\tan\theta=x$. Entonces

   $\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot\theta=\frac1x$

   y $\frac{\pi}{2}-\theta$ también está en $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$, que sí cae dentro del recorrido principal de $\arctan$. Por lo tanto $\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}-\theta$ y

   $\arctan x+\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}$

3. 3

   Caso $x<0$: aprovecha que la función es impar en lugar de repetir el trabajo. Tanto $x<0$ como $\frac1x<0$, así que los dos arcotangentes son negativos y su suma no puede ser $+\frac{\pi}{2}$. Aplica el resultado anterior a $-x>0$ y usa $\arctan(-t)=-\arctan t$:

   $\arctan(-x)+\arctan\left(-\tfrac1x\right)=\frac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ -\left(\arctan x+\arctan\tfrac1x\right)=\frac{\pi}{2}$

   de donde la suma vale $-\frac{\pi}{2}$.

4. 4

   Mira por qué la fórmula de la tangente de la suma no basta por sí sola. Con $A=\arctan x$ y $B=\arctan\frac1x$,

   $\tan(A+B)=\frac{x+\frac1x}{1-x\cdot\frac1x}=\frac{x+\frac1x}{0}$

   que está indefinido. Eso solo nos dice que $A+B$ es un múltiplo impar de $\frac{\pi}{2}$; decidir cuál requiere el argumento sobre el recorrido de arriba.

5. 5

   Reúne todo en una sola fórmula.

   $\arctan x+\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(x),\qquad x\neq 0$

   La función es constante en cada semirrecta y salta $\pi$ al cruzar $x=0$: desde luego no es idénticamente $\frac{\pi}{2}$.

6. 6

   Comprueba numéricamente. En $x=2$: $\arctan 2=1.1071487$ y $\arctan 0.5=0.4636476$, cuya suma da $1.5707963=\frac{\pi}{2}$ ✓. En $x=-2$ los dos valores cambian de signo y la suma es $-1.5707963=-\frac{\pi}{2}$ ✓.