Un sector circular tiene ángulo central 1/3 de radián y área 2 pies cuadrados. Hallar el radio, redondeado a tres decimales.

Step-by-step solution

1. 1

   Partir de la fórmula del área del sector y despejar r. De

   $A=\frac12 r^{2}\theta$

   se multiplica por $2$ y se divide entre $\theta$ antes de extraer la raíz cuadrada:

   $r^{2}=\frac{2A}{\theta},\qquad r=\sqrt{\frac{2A}{\theta}}$

   Despejar primero, en lugar de sustituir en $A=\tfrac12 r^2\theta$ y después pelear con los números, concentra la división de fracciones en un solo lugar.

2. 2

   Sustituir los valores dados.

   $r^{2}=\frac{2(2)}{1/3}=4\times 3=12$

   Dividir entre $\tfrac13$ es multiplicar por $3$: el paso donde con facilidad se pierde un factor $9$.

3. 3

   Tomar la raíz cuadrada positiva. Un radio debe ser positivo, así que

   $r=\sqrt{12}=2\sqrt3$

4. 4

   Convertir a decimal.

   $r=2(1.7320508)=3.4641\approx 3.464\ \text{ft}$

   $\boxed{r=2\sqrt3\approx 3.464\ \text{ft}}$

5. 5

   Comprobar calculando el área de vuelta. $A=\tfrac12(12)\left(\tfrac13\right)=6\times\tfrac13=2$ pies cuadrados ✓. Nótese que el ángulo debe estar en radianes para esta fórmula; $\tfrac13$ de radián es alrededor de $19.1^{\circ}$, así que el sector es una cuña delgada y necesita un radio bastante grande para alcanzar $2\ \text{ft}^2$.