Resuelve 4 · cos(x) · cos(x) − 3 = 0 y da la solución general.

Step-by-step solution

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   Lee bien la notación. El símbolo entre los dos factores coseno es un signo de multiplicación, no la variable, así que la expresión es $4\cos x\cdot\cos x=4\cos^{2}x$ y la ecuación es

   $4\cos^{2}x-3=0.$

   Escribir el factor repetido como un cuadrado es el paso que convierte la ecuación en una cuadrática corriente en $\cos x$.

2. 2

   Despeja $\cos^{2}x$. Sumando $3$ y dividiendo entre $4$:

   $\cos^{2}x=\frac34.$

   El valor $\tfrac34$ está en $[0,1]$, así que existen soluciones reales. Si el miembro derecho hubiera pasado de $1$, no habría ninguna.

3. 3

   Extrae la raíz cuadrada con los dos signos. De $\cos^{2}x=\tfrac34$,

   $\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$

   El ángulo de referencia de $\tfrac{\sqrt3}{2}$ es $\tfrac{\pi}{6}$ ($30^{\circ}$). Descartar la rama negativa perdería la mitad de las soluciones: un desliz muy común.

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   Enumera los ángulos base de una vuelta completa. Para $\cos x=+\tfrac{\sqrt3}{2}$: $x=\tfrac{\pi}{6}$ y $x=\tfrac{11\pi}{6}$. Para $\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$: $x=\tfrac{5\pi}{6}$ y $x=\tfrac{7\pi}{6}$. Cuatro soluciones por periodo de $2\pi$, simétricas respecto de ambos ejes.

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   Fúndelos en dos familias compactas. Los cuatro ángulos son $\pm\tfrac{\pi}{6}$ y $\pm\tfrac{\pi}{6}+\pi$, así que la solución general es

   $x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   Comprobación: $4\cos^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)-3=4\cdot\tfrac34-3=0$ ✓, y lo mismo en $\tfrac{5\pi}{6}$ y $\tfrac{7\pi}{6}$ ✓. El periodo es $\pi$ y no $2\pi$ porque $\cos^{2}$ no cambia cuando $x$ aumenta en $\pi$.