Simplifica sen(9x)/cot(12x).

Step-by-step solution

1. 1

   Sustituye la cotangente por su definición. La identidad del cociente es

   $\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},$

   así que con $\theta=12x$ la expresión pasa a ser

   $\frac{\sin(9x)}{\dfrac{\cos(12x)}{\sin(12x)}}.$

   Reescribir en términos de seno y coseno es casi siempre el primer movimiento acertado cuando una función trigonométrica recíproca aparece en un sitio incómodo.

2. 2

   Dividir entre una fracción es multiplicar por su recíproco. Una fracción compuesta $\dfrac{A}{B/C}$ equivale a $A\cdot\dfrac{C}{B}$:

   $\frac{\sin(9x)}{\dfrac{\cos(12x)}{\sin(12x)}}=\sin(9x)\cdot\frac{\sin(12x)}{\cos(12x)}.$

   El error clásico es escribir $\sin(9x)\cdot\frac{\cos(12x)}{\sin(12x)}$: dividir entre $\cot$ es lo mismo que multiplicar por $\tan$, no por $\cot$.

3. 3

   Reconoce la tangente. Como $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$,

   $\frac{\sin(9x)}{\cot(12x)}=\sin(9x)\tan(12x).$

   De forma equivalente, la respuesta puede dejarse como $\dfrac{\sin(9x)\sin(12x)}{\cos(12x)}$; las dos formas son correctas, y la versión con $\tan$ es la más compacta.

4. 4

   Enuncia las restricciones del dominio. La expresión original exige que $\cot(12x)$ esté definida y sea no nula, así que $\sin(12x)\ne0$ y $\cos(12x)\ne0$, es decir $12x\ne\frac{k\pi}{2}$. La forma simplificada $\sin(9x)\tan(12x)$ solo necesita $\cos(12x)\ne0$, de modo que está definida en algunos puntos más que la original; las dos coinciden allí donde ambas tienen sentido.

5. 5

   Comprueba numéricamente. En $x=0.1$: $\sin(0.9)=0.783327$ y $\cot(1.2)=0.3887796$, así que el cociente original vale $\frac{0.783327}{0.3887796}=2.014836$; y $\sin(0.9)\tan(1.2)=0.783327\times2.572152=2.014836$ ✓. Que coincidan en un valor donde ninguna de las funciones está cerca de un polo confirma el álgebra.