¿Cuál es el periodo de y = 2 cos(3x − 2π)?

Step-by-step solution

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   Identificar los tres parámetros. Comparando con la forma general $y = A\cos(bx - c)$: la amplitud es $A = 2$, el coeficiente de $x$ es $b = 3$ y el término de fase es $c = 2\pi$. Solo uno de los tres controla el periodo.

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   Usar la fórmula del periodo. El coseno completa un ciclo cuando su argumento avanza $2\pi$. Aquí el argumento es $3x - 2\pi$, que avanza $2\pi$ cuando $x$ avanza $2\pi/3$:

   $3(x + p) - 2\pi = (3x - 2\pi) + 2\pi \;\Longrightarrow\; 3p = 2\pi \;\Longrightarrow\; p = \frac{2\pi}{3}$

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   Ver por qué la amplitud no influye. El factor $2$ escala la salida en vertical. Como $2\cos\theta$ se repite exactamente cuando se repite $\cos\theta$, la longitud horizontal del ciclo no cambia — una onda más alta no es una onda más larga.

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   Ver por qué el desfase tampoco influye. Restar $2\pi$ por dentro desliza la gráfica $2\pi/3$ unidades hacia la derecha, pero deslizar una gráfica periódica nunca cambia cada cuánto se repite. De hecho $2\pi$ es un periodo completo del coseno, así que aquí $\cos(3x - 2\pi) = \cos 3x$ y la gráfica ni siquiera se desplaza de forma visible.

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   Enunciar y comprobar la respuesta. El periodo es $\dfrac{2\pi}{3}$. Verificándolo directamente: $y(0) = 2\cos(-2\pi) = 2$, y $y\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) = 2\cos(2\pi - 2\pi) = 2\cos 0 = 2$ ✓, mientras que en el punto medio $y\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = 2\cos(\pi - 2\pi) = -2$ muestra una oscilación completa de verdad en el intermedio. Distractores como $3\pi$ o $6\pi$ salen de multiplicar por $b$ en lugar de dividir.