¿Cuál de estas funciones es una función par? f(x) = sen(−3πx), f(x) = tan(3πx), f(x) = cos(5πx/4), f(x) = csc(−πx/2).

Step-by-step solution

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   Enuncia el criterio. Una función es par si $f(-x) = f(x)$ para todo $x$ de su dominio (gráfica simétrica respecto del eje $y$), e impar si $f(-x) = -f(x)$ (simétrica respecto del origen). Así que toda la cuestión se reduce a esto: sustituye $-x$ y mira qué signo recuperas.

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   Recuerda la paridad de las funciones trigonométricas básicas. El $\cos$ es par: $\cos(-\theta) = \cos\theta$. Su inversa multiplicativa $\sec$ también es par. En cambio, $\sin$, $\tan$, $\cot$ y $\csc$ son todas impares: $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, y así con las demás. Un argumento lineal $kx$ no altera nada de esto, porque sustituir $x$ por $-x$ solo cambia de signo a $kx$.

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   Prueba las tres candidatas impares.

   $\sin(-3\pi(-x)) = \sin(3\pi x) = -\sin(-3\pi x)$

   $\tan(3\pi(-x)) = \tan(-3\pi x) = -\tan(3\pi x)$

   $\csc\!\left(-\tfrac{\pi}{2}(-x)\right) = \csc\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right) = -\csc\!\left(-\tfrac{\pi}{2}x\right)$

   Cada una devuelve el opuesto de la original, así que las tres son impares, no pares.

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   Prueba la candidata con coseno. Como el coseno es par,

   $\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}(-x)\right) = \cos\!\left(-\tfrac{5\pi}{4}x\right) = \cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}x\right) = f(x)$

   Así que $f(-x) = f(x)$ y esta sí es par.

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   Comprueba con un valor numérico. Toma $x = 0.3$: $\cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}(0.3)\bigr) = \cos(1.1781) = 0.3827$ y $\cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}(-0.3)\bigr) = \cos(-1.1781) = 0.3827$ ✓, iguales. Para la opción de la tangente en ese mismo $x$: $\tan(0.9\pi) = -0.3249$ frente a $\tan(-0.9\pi) = +0.3249$, opuestos, lo que confirma que es impar. Respuesta: $f(x) = \cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}x\right)$.